SS
170. VI. Étant donnés un système de diamètres conjugués et l’angle qu’ils forment, trouver les axes de l’ellipse.
. Soient aa' et ai' les longueurs des deux diamètres conjugués et a leur angle, soient a a et ai les longueurs des axes cherchés; on aura (155 et 166),
n’-l-i’= n'’4-i'’, ai = «'i'sina.
On en déduit facilement ( Trig., 44),
(a+i)’ = «'’4-i'’+a«'i'sina= a'^ + i'’ — aa'i'cos ’
(a — by = a” + b’' — aa'i'sina = a’+i'’ — aa'i'cos •
On voit alors que la somme a-f-i est le troisième côté d’un triangle
TT
dont les deux autres côtés a' et i' comprennent l’angle - + tandis que
la différence a — i est le troisième côté d’un triangle dont les deux autres
côtés a' et i' comprennent l’angle supplémentaire ~ ~
Par conséquent [Jîg. 8a), MM'=aa' et NN'=ai' étant les deux diamètres conjugués donnés, NOM étant leur angle a, on abaissera du point N la perpendiculaire NR sur MM', on portera sur cette perpendiculaire, à partir du point N, NU = NS = a', et l'on mènera les droites OU et OS.
L’angle ONR étant égal à ^ — a et l’angle ONU à ^ -4- a, OU représentera
a-l-i et OS représentera a — i. Donc, si l’on décrit du point O comme centre, avec OS pour rayon, une circonférence qui coupe OU et son prolongement aux points V' et V, on aura
UV = (a-f-è)-t-(a — 6) = aa et
UV'=(a-t-ô)-(a-ô) = aô.
1^4 GÊOMÉTME ANALYTIQUE.
Quant à la direction des axes, supposons-les obtenus en AA' ( grand axe) et en BB' (petit axe). Prolongeons la perpendiculaire NR au diamètre MM', jusqu’à sa rencontre avec BB' au point H. Si l’on conçoit une nouvelle ellipse ayant pour foyers les points U et S et passant au point O, cette ellipse aura le même grand axe que l’ellipse à construire, son centre sera d’ailleurs au point N. Par suite, NR sera l'abscisse du point O de cette ellipse, en la supposant rapportée à ses axes. Si l’on désigne par d la distance du centre N au pied de la tangente menée par le point O à la seconde ellipse, on aura (141)
r/.NR = a’.
D’ailleurs NR étant une normale à la première ellipse ( par rapport à la tangente menée à cotte ellipse au point N), on aura aussi (169)
NH . NR = a\
n en résulte immédiatement <-/=NH, c’est-à-dire que la tangente menée à la seconde ellipse par le point O est précisément dirigée suivant le petit axe de la première. Le grand axe se confondant alors avec la normale à la seconde ellipse au point O, est la bissectrice de t angle UOS des rayons -vecteurs ÜO, SO (*).
171. VII. Étant donné un arc d’ellipse, retrouver les éléments de la courbe.
En menant {fig. 83) deux cordes parallèles quelconques mm\ nn\ et en joignant leurs milieux, on aura un diamètre OM de la courbe. On en obtiendra un second OH, en prenant deux autres cordes parallèles pp' et qq' . Les deux diamètres construits feront connaître, par leur intersection, le centre O de l’ellipse. On aura alors facilement le diamètre conjugué de l’un des diamètres tracés, en menant par le centre de l’ellipse une parallèle aux cordes qui l’ont déterminé. On connaîtra donc les directions de deux diamètres conjugués, et au moins la demi-longueur OII = a' de l’un d’eux. Pour déterminer la demi-longueur OK = V du second diamètre, menons une tangente à l’ellipse par le point M, c’est-à-dire une parallèle aux cordes mm' , nn'. L’ellipse étant rapportée aux axes 011 et OK, l’équation de cette tangente sera
Si l’on y fait x = o, il vient
c'est-à-dire
é'’ = OT'.MP.
(*) Cette remarquable construction, due à il/. Chasles, démontre en outre cc th^rème : Si sur une normale à une ellipse on prend à partir du point de contact deux segments égaux au demi-diamètre perpendiculaire è la normalCf Vellipse qui a pour Joyers les points ainsi déterminés et qui passe au centre de la première ellipse, a même grand axe qu'celle et est tangente à son petit axe.
GÉOMÉTRIE AlflLTriQUE. 1^5
' Le demi-diaroèlre cherché sera donc une moyenne proportionnelle aux longueurs OT' et MP. Connaissant l’angle KOH et les longueurs a' et b', la question est ramenée à la résolution du problème précédent.
