PROPRIÉTÉS DE L’HYPERBOLE
Rappel des notions précédentes.
172. L’équation d’une hyperbole peut toujours être ramenée à la forme (127)
ou
Dans le premier cas, la courbe rencontre l’axe des x; dans le second, elle rencontre l’axe des y : pour étudier ses propriétés, on peut ne considérer que la première forme, aa représente alors l’axe transvene de l’hyperbole, a 6 son axe imaginaire. En effet, pour y=o, on a
pour j: = o, on a
L’origine des coordonnées est un centre. La courbe n’a que deux sommets qui sont ses points de rencontre avec l’axe transverse.
Pour passer de l’équation { i ) de l’hyperbole à l’équation de l’ellipse (136), les axes des deux courbes étant supposés identiques, il suffit de changer 6’ en — é’. Les propriétés de l’ellipse qui ne dépendent que des carrés a} et 6% seront donc applicables à l’byperbole, sauf le changement de è’ en — b^.
L’hyperbole est équilatère lorsque les axes a et b sont égaux. L’équation de la courbe devient, dans ce cas,
La valeur
déduite de l’équation (i), prouve que l’on a nécessairement x~p>a ou ^ <C. —
1^6 GÉOMÉTRIE AHALYTIQLE.
c’esl-à-dire qu’il n’y a aucun point de la courbe entre les parallèles à l’axe des y qui passent par les sommets, x croissant de rt à CO , J croît de o à oo ou décroît de o à — oo . Il en est de même lorsque x décroît de — « à — <x> .
Supposons les axes représentés par AA' et BB' {/ig. 84). On . obtient les foyers F et F', en construisant le triangle rectangle OAC dans lequel AC = OB, puis en décrivant du point O comme centre avec OC pour rayon une demi-circonférence. Cette demi-circonférence vient couper l’axe transverse aux points F et F', car on a
OF = OF' = \fârÿ¥=c. .
Si l’on veut construire les directrices de l’hyperbole, il suffit de se rappeler (134) que leur équation est
On prendra donc sur l’axe 0/ une longueur OE = a, on joindra le point E aux deux foyers, et l’on élèvera respectivement sur les droites EF', EF, les perpendiculaires ED, ED', jusqu’à la rencontre de l’axe transverse. Les points D et D' seront évidemment les pieds des directrices DL et D' U.
Quand l’hyperbole est équilatère, on a
c’est-à-dire
L’équation des directrices étant alors a: = ±-? leurs pieds
D et D' sont au milieu des distances focales OF et OF'.
Si l’on considère un point M quelconque pris sur la courbe, le rayon vecteur MF a pour expression
^ le rayoït vecteur MF' a pour expression
Dans chaque expression, on doit prendre le signe -t- ou le signe — , suivant que le point M est situé à droite ou à gauche de l’axe des J (134).
Diniîi/M».
GÉUMÉTIUE AAALYTIQüE. l J J
La disianoe ÜM du centre au point M est, d’après l’équatiou de l’hyperbole,
■rt»)
b‘‘)x'‘ — tt‘b^
Cette distance atteint son minimum a pour x = a, et devient inflnie pour x = co .
Si l'on considère un point intérieur à l’hyperbole, il aura, en valeur absolue, une ordonnée inférieure à celle du point de la courbe qui a la même abscisse. Si l’on considère un point extérieur à l’hyperbole, il aura, en valeur absolue, une abscisse inférieure à celle du point de la courbe qui a la même ordonnée. Par suite, selon qu’un point {x, y) est intérieur à l’hyperbole, extérieur à l’hyperbole ou lui appartient, on a
xi x' .r' v’
ou
ai y' — b^xi -y ai bi z= O.
Enfin il est évident que, si un point N est intérieur à la courbe, on a pour la différence de ses rayons vecteurs
NF'— NF> 20.
Si le point N considéré est extérieur à la courbe ( fig. 84), on a au contraire
NF'— NF<2o.
JC“
173. L’hyperbole — — "(f ~ ^ admet (86, 87) deux asymptotes dont les équations sont
On voit {fig- 84) que ces asymptotes sont les diagonales du rectangle construit sur les axes AA' et BB'.
y:=-y^x est asymptote à la branche supérieure de la partie de droite et à la branche inférieure de la partie de gauche; J = — ^ ar est asymptote à la branche inférieure de la partie
de droite et à la branche supérieure de la partie de gauche.
Les asymptotes forment quatre angles, deux à deux opposés par le sommet. La courbe s’étend dans deux de ces angles
