Il
opposés par le sommet, elle u’a aucun point dans les deux autres angles.
Lorsque l'hyperbole est équilatère, n = b, oi les équations des asymptotes sont
c’est-à-dire que les asymptotes d’une hyperbole équilatère sont les bissectrices des angles des axes : elles sont donc perpendiculaires l'une à l’autre.
Si l’on considère simultanément les hyperboles représentées
par les équations — — ‘^T — ^ = i, on a ce qu’on
appelle des hyperboles conjuguées ; l’axe transverse de l’une est l’axe imaginaire de l’autre, et réciproquement. 11 est facile de voir que deux hyperboles conjuguées ont les mêmes asymptotes.
Remarque. — Il est facile de vérifier que les droites y = ± — x sont asymptotes à l’hyperbole
Cherchons, en effet, la différence des deux ordonnées
r = -x et y=-<Jx'‘ — rt*. Cette différence est, pour la ' a a
mémo abscisse.
ab
et quand x tend vers l’infini, cette différence, toujours positive, tend vers zéro. A plus forte raison en est-il ainsi de la distance du point considéré sur la courbe à la droite. La symétrie de la courbe permet de n’étudier que ce qui se passe dans l’angle positif des axes.
174. L’hyperbole a bien la forme indiquée sur la figure. On s’en rend compte en remarquant que le coefficient angulaire
de la tangente -J— peut, en remplaçant /par sa valeur déduite a y
de la relation (3) du n" 172, se mettre sous la forme
X croissant de a jusqu’à oo , ce coefficient décroît depuis oo
liÉOMtTlUe ANALYTIQUE.
jusqu’à La brandie supérieure de la partie de droite tourne
donc sa concavité vers les y négatifs (8*2), et par suKe la branche inférieure sa concavité vers les y positifs. On retrouve en même temps les asymptotes comme limites des tangentes (86).
175. Prenons sur l’hyperbole (Jig. 84) un point M ayant pour ordonnée MP et pour abscisse OP. On aura, d’après l’équation (3),
MP’=. i’(OP=— rt^) = t (OP + „) (OP a) = A'P. AP,
d’où
MP= b'-
VpTÂP ^7?^ constante.
Le rapport du carré de l’ordonnée d’un point de l’hyperbole au produit des segments que cette ordonnée détermine sur l’axe des abscisses, limité aux sommets de la courbe, est donc constant; en d’autres termes, les carrés des ordonnées de la courbe sont proportionnels aux produits des segments qu elles déterminent sur l’axe transverse.
Construction de la courbe.
176. Partons de l’équation naturelle u — c = 2 a. Du point F comme centre, avec un rayon FM plus grand que AF", décrivons une circonférence [Jig. 85). Du point F' comme centre, avec un rayon égal à FÂl -f- an, décrivons une autre circonférence. Ces circonférences se couperont en deux points M et M', symétriques par rapport à l’axe transverse AA', et qui appartiendront évidemment à l’hyperbole.
La distance 2c des centres des deux circonférences est plus grande que la différence la de leurs rayons. 11 suffit donc, pour qu’elles soient réellement sécantçs, qu’on ait en outre
2c<F'M-t-FM.
Mais de la relation
