F'M — FM = F'D — (FM + MD
Tangente et Normale.
178. L’équation de la tangente à l’hyperbole en un point {x,, ji) est immédiatement (73), d’après l’équation de la courbe,
Il faut d’ailleurs joindre à l'équation de la tangente l’équation de condition
On peut écrire l’équation de la tangente sous la forme
a’jrjr, — a}j'\ — b^xx, — b^x],
ou, en divisant les deux membres par
XX, __-Z± -lll .
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. l8l
Elle revient donc à celle-ci :
£fi ,
Pour construire la tangente, on peut chercher les points où elle coupe les axes. Si l’on suppose /= o, on trouve
fl’
si l’on suppose v = O, on trouve
Ainsi, chaque coordonnée de la tangente par rapport à l’origine ne dépend que de la longueur de l’axe correspondant et de la coordonnée du point de contact sur cet axe.
On ne peut pas en déduire, comme pour l’ellipse (141), un moyen simple de construire la tangente en un point donné de l’hyperbole, parce que l’hyperbole équilatère (qui est à l’hyperbole ordinaire ce que le cercle est à l’ellipse ) n’est pas susceptible, comme le cercle, d’un tracé immédiat.
Si l’on suppose que le point de contact s’éloigne à l’inOni, il faut faire
x,=y, = oo ,
et l’on trouve alors , pour les coordonnées à l’origine de la tangente,
c’est-à-dire que la tangente passe alors par le centre : ce qui ramène aux asymptotes.
La distance TP {Jig. 87) entre le pied de l’ordonnée du point de contact et le point où la tangente rencontre l’axe des X, s’appelle la sous-tangente par rapport à cet axe. La sous-tangente TP par rapport à l’axe des x a donc pour expression
. fl’ x^ — a’
Même remarque par rapport à l’axe des 7.
179. L’équation de la normale en un point donné (x,, y,) de l’hyperbole est
On en déduit
b- Xiy — b-x,y, = — a\y,x -H a-x,y,f
>82 UÉOHÉTRIE AAAIYTIQDE.
c’esl-à-dlre en divisant les deux membres par («=-+- 6^) x, ri ou par c^x,x,,
Pour construire la normale, on peut chercher les points où elle coupe les axes. Si l’on suppose y= o, il vient
si l'on suppose j=o, il vient
La distance NP entre le pied de l’orddnnée du point de contact et le point où la normale rencontre l’axe des x {fig. 87 ), s’appelle la sous~nortnale par rapport à cet axe. La sous-normale NP par rapport à l’axe des x a donc pour expression
Lorsque le point M s’approche de l’une des extrémités de l’axe transverse, x, s’approche de ±a, cl la valeur de
ON = — T- tend vers ± — • Ainsi, à la limite, le point M se
confondant avec l’une des extrémités de l’axe transverse, le pied de la normale sur cet axe se trouve à une distancé du
centre égale à la longueur ± — plus grande que c en valeur
absolue.
180. La tangente au point M est la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs de ce point [fig. 87).
De
on déduit
et
TF = OF - OT = c- — — = — — -
TF'= OF' -i- OT = c -4- — = .
Il en résulte
TF __ ex, — n- TF' rx, -I- a-
Mais (172)
MF — a —
exx — à-
et
Mp< 1 „ —
ex, -(- rt’
Par suite
MF ex, — a’
TF
MF' cx,-^a'
TF'
La tangente MT divisant la base du triangle FMF' en segments proportionnels aux côtés MF et MF', est la bissectrice de l’angle FMF'.
. Il en résulte que l’un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l’autre font d’un même côté de la tangente et avec cette ligne des angles égaux (*).
Remarques. — 1. La tangente MT étant la bissectrice de l’angle intérieur FMF', la normale MN est la bissectrice de l’angle extérieur FML', c'est-à-dire la bissectrice de l’angle formé par l’un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l’autre. Le pied T de la tangente et le pied N de la normale sont donc harmoniques conjugués par rapport aux deux foyers F et F'.
IL On peut obtenir la tangente au point M. en remarquant que, si l’on prend sur MF' une longueur ML = MF (ce qui entraîne F'L = 2 a), le triangle FML étant alors isocèle et la tangente MT devant être la bissectrice de l’angle FML, elle se confondra avec la perpendiculaire élevée sur le milieu H de la base FL du triangle.
III. Le point H étant le milieu de FL et le centre O de l’hyperbole étant le milieu de la distance focale FF', la distance 011 sera toujours égale à la moitié de la distance F'L, c’est-à-dire à la constante a. Les projections des foy ers sur toutes les tangentes à l’hyperbole ont donc pour lieu géométrique la circonférence décrite sur l’axe transverse comme diamètre.
IV. Si l’on suppose une ellipse et une hyperbole ayant les mêmes foyers, c’est-à-dire homofocales, on voit, en rapprochant les propriétés des deux courbes relativement aux tangentes, qu’elles se couperont à angle droit; c’est-à-dire qu’en leurs points d’intersection la tangente de l’une sera la normale de l’autre, et réciproquement.
(*) La propriclc physique indiquée en note (143) n’existe plus que pour les prolongements tels que ML', et non pour les rayons correspondants tels que MI", par suite de la séparation de la courhe en deux parties.
i84 GÉOMéTiuE Analytique.
181. Si l’on veut mener à l' hyperbole une tangente passant par un point extérieur donné, les inconnues du problème seront les coordonnées x,,y\, du point de contact. En désignant par a, p, les coordonnées du point donné, on aura à résoudre les deux équations
La première exprime que la tangente cherchée passe par le point donné.
Le mieux est, en regardant les inconnues x, et comme des coordonnées courantes, de construire, comme nous l’avons fait pour l’ellipse (144), la corde des contacts
XX, pji
et de chercher les points où elle rencontre l’hyperbole proposée. En joignant ces points avec le point donné («, p), on aura les deux tangentes qui répondent à la question. Il est facile de vérifier, en effet, que si le point («, p) est bien extérieur à la courbe, U y a toujours deux solutions.
On déduit de l’équation (i) -
Substituant dans féqualion (2), il vient
^ l/(xx, — a'Y a' 6’ P’
(3) («’ P’ — ^b' x^)x] -h 2 0} b' XX, — a' (b^-\- p’)= o.
On en tire
rt’ ( — b'xzt: P \/ O- rt’ P’ — b^ x')
et si le point (x, p) est extérieur à la courbe, on a (172) rt* b^ + a^ p-—b^ st’>o,
de sorte qu’on trouve pour j?, et par conséquent poui j-, deux valeurs réelles.
GÉOMÉTEIE analytique. i85
L’équation (3) montre que les deux valeurs de x, sont de signes contraires si le coefficient du premier terme a’ P* — 6’ a’ est > o, et qu’elles sont de même signe si ce coefficient a’ P’ — à' a’ est < O.
Mais la première condition équivaut à^>^ou<[ —
point (a, P) est alors dans l’un des angles des asymptotes qui ne contiennent aucun point de la courbe. La seconde condition équivaut à^^-ou^ — - :1e point (a, (3) tombe alors
