X £[ CL

dans l’un des angles des asymptotes où les deux parties de la courbes sont situées. On voit donc que les deux tangentes qui partent d’un,point extérieur, touchent ensemble la même partie de Vhypefhole , ou séparément ses deux parties , suivant que le point donné tombe ou non dans les angles des asymptotes qui renferment la courbe.

182. On peut aussi , en s’appuyant sur ce qui précède, mener géométriquement, une tangente à l’byperbole par un point extérieur.

Du point donné N comme centre, avec NF pour rayon^décrivons une circonférence {Jîg. 88); du foyer F' comme centre, avec 2 a pour rayon, décrivons une autre circonférence. Ces deux circonférences seront toujours sécantes, si le point N est extérieur à l’hyperbole. On mènera alors les cordes qui, dans la première circonférence, joignent le foyer F aux points d’intersection L et L'. Du centre N, on abaissera sur ces cordes les perpendiculaires NT, NT' : ce seront les tangentes demandées. Car si l’on joint le foyer F' aux points L et L', les droites NT et NT' seront coupées par les droites F'L et F'L' aux points M et M', et l’on aura

MF = ML, c’est-à-dire MF' — MF = F'L = 2 a,

M'F = M' L', c’est-à-dire M'F — M'F' = F'L' = 2 a.

Les points M et M' appartiendront donc à l’hyperbole, et, en ces points, les droites NT et NT' coupent en deux parties égales les angles formés par les rayons vecteurs correspondants : ces droites sont donc tangentes à l’hyperbole (180), et elles passent par le point donné N.

Nous avons dit que, le point N étant extérieur, les circonférences NF et F'L seraient toujours sécantes.*Eii cffel, le point N étant supposé plus proche du foyer F, on aura alors (172)

NF'— M’<2o.

d’où

GÉOMÉTIUE AKALYTIQUi:.

NF' <; NF + 3 et.

La distance des centres des deux circonférences est donc moindre que la somme de leurs rayons. Le triangle F'NF donne d’ailleurs

et, à fortiori, d’où

FF'<NF'-t-NF

2a<NF'-+-NF,

NF'>3a — NF.

Si NF l’emportait sur 2 a, on remarquerait que, le point N étant supposé plus proche du foyer F, on a nécessairement

d’où

NF<NF' + 2rt, NF>NF — 2rt.

Dans tous les cas, la distance des centres des deux circonférences, déjà moindre que la somme des rayoné, est aussi plus grande que leur différence.

Ren^rque. — Les cercles décrits de chaque foyer d’une hyperbole comme centre, avec l’axe transverse 20' comme rayon, sont appelés cercles directeurs. On voit que les points de l’hyperbole sont à égale distance de l’un des foyers et du cercle directeur qui correspond à l’autre foyer.

183. Si l’on veut mener à une hyperbole une tangente parallèle à une direction donnée, les inconnues du problème seront encore les coordonnées ar,, y\, du point de contact. Soit m le coefficient angulaire qui correspond à la direction donnée. On aura à résoudre les deux équations

b'Xi

Ces équations montrent que les points de contact demandés résulteront de l’intersection de l’hyperbole proposée et de la

droite ji qui passe par 1 origine.

Mais il est préférable de chercher l’équation générale des tangentes à l’hyperbole, indépendamment des coordonnées du point de contact. Il suffira pour cela de déterminer la relation qui doit exister entre les constantes m et «, pour que la

droite /=mx -H» soit langenteà l’hyperbole — a?y^=d‘b^. En suivant la même marche qu’au n° 146, on parviendra à la condition

L’équation générale des tangentes à l’hyperbole est donc y — nix ± \Ja‘ m’ — />’ ;

et en y donnant à m la valeur indiquée, on répondra immédiatement à la question : on voit qu’il y aura deux tangentes parallèles à la direction imposée, si toutefois le problème est possible.

' Pour qu’il en soit ainsi, il faut qu’on ait

a’/n’ — b^'>o ou ni^ '>—,•>

c’est-à-dire

m > - ou me'

Ce qui montre que si l’on mène par le centre une parallèle à la direction. considérée, elle devra tomber, pour que le problème soit possible, dans les angles des asymptotes qui ne contiennent aucun point de la courbe. Cette restriction concorde avec ce que nous avons dit au n” 147, relativement à la variation du coefficient angulaire de la tangente. Si l’on a

m = ± ^5 on retombe sur les équations des asymptotes.

184. Si l’on veut résoudre géométriquement le problème proposé, on se rappellera que le lieu des projections des foyers sur les tangentes à la courbe est la circonférence décrite sur l’axe transverse comme diamètre. Par suite, si la droite DD' marque la direction donnée (fig- 8g),- il suffira d’abaisser du foyer F, par exemple, sur cette droite, la perpendiculaire indéfinie FHH' qui coupera la circonférence AA' en deux points H et H'. Par les points H et H', on mènera des parallèles Hï et H'T' à DD', et la question sera résolue. Pour avoir les points de contact des tangentes, on prolongera FH d’une longueur HL = FH et FIF d’une longueur II'L'=FH'. On joindra ensuite le foyer F' aux points L et L', et les droites F'L, F'L', détermineront sur HT et sur H'T' les points de contact M et M'. Il suffit, pour vérifier ces constructions, de remarquer qu’on a • •

OII = OH'=rt

.et, par conséquent,

l88 GÉOMÉTRIE ÀKALYTIQUE.

La droite MM' qui joint les deux points de contact passe bien par le centre ( 183), car il est aisé de voir que le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramnie.

Il est bon de noter que les dernières constructions géométriques indiquées (182, 184) ne supposent pas I hyperbole tracée^

Remarque. — Pour que la perpendiculaire abaissée du foyer sut la direction donnée soit tangente au cercle a, l’équation de cette perpendiculaire étant

il faut que l’on ait (57)

d’où l’on déduit

a'—m'^b^ ou /w'=±t’

La perpendiculaire abaissée du foyer est alors en même temps tangente à la circonférence a et perpendiculaire à

l’une des asymptotes x = ±^x. Au delà, c’est-à-dire pour

m' ^ ou m'<( — cette perpendiculaire ne coupe plus la

circonférence, et le problème n’est plus possible.

' L’abscisse du point d’intersection de la perpendiculaire

X = — ^{x—c) abaissée du foyer F sur l’asymptote j = - x

avec cette asymptote, est a? = , ce qui fournit un nouveau

moyen de construire les directrices de l’hyperbole (172).-

Diamètres, cordes supplémentaires, diamètres conjugués.