L’équation de l’hyperbole étant b^x’’ — a’x
on trouve facilement, en appliquant la règle donnée précédemment (112), que l’équation générale des diamètres de la courbe est
. - tr-
^ am
En désignant par m' le ooellicicnl angulaire du diamètre, on
aura jdonc
ou
GÉOMÉTRIF. ANALYTIQUE.
-ÈL
mm' —
Telle est la relation constante qui existe enti-e le coefficient angulaire d’un diamètre et celui des cordes qui lui sont conjuguées.
Nous savons (115) que tout diamèlre a pour diamètre conjugué celui qui fait partie du système de cordes, conjugué au premier diamètre. Deux diamètres conjugués sont tels, que chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre. La relation (i) permet de le vériOer immédiatement (1V9). Elle montre en même temps que, lorsque deux diamètres sont conjugués, l’un rencontre la courbe et Tautre ne la rencontre pas. En effet, m et m' représentant les coefficients angulaires des deux diamètres, suivant que m positif
- ou «c -J m positif est <T- ou et suivant que
m négatif est <C — ^ ou > — ^5 m' négatif est à son tour
~> — - ou <■ — -• Or les diamètres situés dans les angles des a a
asymptotes qui renferment la courbe, c’est-à-dire dont le coefficient angulaire est en valeur absolue moindre que peuvent seuls la rencontrer.
Ainsi les diamètres de l’hyperbole se partagent eh diamètres transverses et en diamètres non transverses ; et, de deux , diamètres conjugués, un seul est transverse.
On peut vérifier facilement (148) que la tangente à l’extrémité d’un diamètre transverse est parallèle au système de cordes, conjugué à ce diamètre.
Il est visible, en vertu de la relation (i), que les cordes qui correspondent à un diamètre transverse ont leurs extrémités sur une même moitié de l’hyperbole, et que les cordes qui correspondent à un diamètre non transverse s’appuient à la fois sur les deux moitiés de la courbe.
L’équation d’un diamètre quelconque étant y=mx, l’équation de son conjugué sera (en vertu de la même relation)
rt’ m
igo GÉOMÈTHIE ANALYTIQUE.
On voit que les angles des deux diamètres avec l'axe transverse sont ensemble aigus ou obtus.
186. On dit que deux cordes sont slpplëmentaibes lorsque, partant d’un même point de l’hyperbole, elles aboutissent aux extrémités d’un même diamètre transverse.
Si l’on cherche la relation qui lie les coefficients angulaires <le deux cordes supplémentaires MD et MD' [fig. 90), en suivant identiquement la même marche que pour l’ellipse (150), on trouve
, mm'=~
La relation qui existe entre le coefficient angulaire d’un diamètre et celui de ses cordes conjuguées, ainsi qu'entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués (185), existe donc également entre les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires.
Il en résulte immédiatement que les diamètres conjugués à deux cordes supplémentaires sont conjugués, ou qu’en menant par le centre de l’hyperbole des parallèles à deux cordes supplémentaires, on obtient un système de diamètres conjugués.
Remarques. — 1. Deux cordes supplémentaires satisfont à trois conditions : elles partent d’un même point de l’hyperbole, elles aboutissent aux extrémités d’un même diamètre iransverse, leurs coefficients angulaires satisfont en outre à
la relation mm’= —•
Réciproquement, lorsque deux droites rempliront deux des conditions énoncées, elles rempliront nécessairement la troisième.
IL Les propriétés précédentes permettent de tracer facilement la tangente à l’hyperbole, par un point donné sur la courbe ou parallèlement à une direction donnée (151).
HL Si l’hyperbole est équilatère, on a
b = a et mm'— 1 .
Les angles dont les tangentes sont désignées par m et par »>',• sont donc alors complémentaires.
187. Cherchons entre quelles limites peut varier l’angle de deux diamètres conjugués ou de deux cordes supplémentaires .
Aux cordes supplémentaires qui correspondent aux extrémités d’un certain diamètre transverse, on peut toujours mener des parallèles par les extrémités de tout autre diamètre
iransverse : ces parallèles formeront aussi un système de cordes supplémentaires (186, Rem. /). Par conséquent, pour étudier les variations de l’angle formé par deux diamètres conjugués ou deux cordes supplémentaires, on peut considérer celles qui aboutissent aux extrémités de l’axe transverse. y X représentant les coordonnées d’un point quelconque de l’hyperbole, les coefficients angulaires de ces cordes auront pour expressions
ni = — ^ et m'= — ^ ■,
X — a .r -h fl •
d’où, en désignant leur angle par a,
m — m' 2 ay
tanga :
I mm' x^ -H — «•’
Le point {x, y) appartenant à l’hyperbole, on aura X‘ — a^==
c’est-à-dire
tanga:
d’où
lab^
iab'
■lfl>-|-à“)7- e^y
Si l’on fait alors varier / de o à oo , on voit que tanga varie de 00 à O. L’angle de deux diamètres conjugués ou de deux cordes supplémentaires prend donc toutes les valeurs comprises entre ^ et o.
Si l’on suppose que le point de départ des deux cordes supplémentaires est au-dessous de l’axe des x, il faut faire varier/ de o à — oo . On trouve encore le même résultat, parce qu’on a alors, comme il est facile de le voir {fig. 90),
■ tanga =
m' — m I -+- mm'
■ ?. fl)'
. 2 ab‘‘
x^-^-y’ — fl’
Remarques. — I. L’équation d’un diamètre quelconque étant / = mx, l’équation de son conjugué est
On a donc aussi
tanga ;
— fl’ ni’
19a GÉOXËTEilE A.NiLYTl<jUE.
Pour que tanga soit zéro, il faut donc qu’on ait
h’—a'm' = o ou m — dt-i
ce qui conduit aux asymptotes qui représentent, sous ce point de vue, deux diamètres conjugués confondus.
Pour que tanga soit oo , il faut qu’on ait
et il en résulté
ce qui montre que les axes de l’hyperbole sont ses seuls diamètres conjugués rectangulaires.
II. Pour tracer deux cordes supplémentaires ou deux dia~ mètres conjugués faisant un angle donné, il suffit de construire sur l’un des diamètres transverses de l’hyperbole un segment capable de cet angle. En joignant aux extrémités du diamètre considéré l’un des points d’intersection de la circonférence décrite et de l’hyperbole proposée, on obtiendra un système de cordes supplémentaires répondant à la question.
Hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués.
188. Supposons qu’on prenne pour axes coordonnés deux diamètres conjugués. L’équation de l’hyperbole devra, pour chaque valeur de l’une des variables, donner deux valeurs de l’autre variable égales et de signes contraires ; en effet, chaque diamètre divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre. L’équation de la courbe sera donc alors nécessairement de la forme
Na’-h P = O ou —
Supposons que le diamètre transverse ait été pris pour axe des X. Désignons par a a' la longueur de ce diamètre. En faisant y= O, nous devrons avoir
d’où
En faisant x = o, on devra trouver pour y une. valeur imagi-
naire, ou pour sera donc
d’où
Par conséquent, l équation de l'hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués sera
a' et b' étant les longueurs du demi-diamètre transverse et du demi-diamètre imaginaire.
189. Remarques. — I. L’équation trouvée étant de même forme que l’équation de l’hyperbole rapportée à ses axes, toutes les propriétés et toutes les équations qui ne dépendent dans ce cas que des axes 2.a et ib, dépendront d’une manière identique des axes 2a' et ib' , lorsque l’hyperbole sera rapportée à un système de diamètres conjugués.
En particulier, les équations des asymptotes seront
Les deux équations ^ ' et = i représen-
tent alors (173) deux hyperboles conjuguées. On voit que lorsque deux hyperboles sont conjuguées, les diamètres transverses de l’une deviennent les diamètres imaginaires de l’autre, et réciproquement.
IL Puisque les équations des asymptotes de l’hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués sont
les diagonales de tous les parallélogrammes construits sur les différents systèmes de diamètres conjugués se confondent ou coïncident avec les asymptotes (34).
Celte importante propriété montre que OD étant un demidiamètre transverse (^g". 91), si l’on mène par le point D et entre les deux asymptotes une tangente H1)G à l’hyperbole (tangente qui sera parallèle au diamètre conjugué de OD), DG ou DH représentera le demi-diamètre conjugué de OD.
