III. i

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 1q3

une valeur essentiellement négative. On po-

ip4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

111. Oa voit en mémo icmps par là que l’hyperbole ne peut en général présenter de diamètres conjugués égaux. En effet, au lieu d’un parallélogramme (îllG'H' (Jig. 91), on aurait alors un losange dont les diagonales seraient à angle droit. Il ne peut donc y avoir de diamètres conjugués égaux que lorsque les asymptotes sont à angle droit, c’est-à-dire dans l’ hyperbole équilatère, et alors ils le sont tous.

L’équation de l’hyperbole équilatère rapportée à un système de diamètres conjugués est donc (puisque a' = b'}

— — =-t;=i ou — r^ = aK a^ rt ’

190. Cherchons s’il existe une relation constante entre les longueurs de deux demi-diamètres conjugués.

Désignons par {x’, y') et {x", y"), les coordonnées des extrémités D et E des demi-diamètres conjugués OD et OE (Jig. gi ). Soient a' et b' les longueurs de ces demi-diamètres. On aura

a'^=:x'^-hy'‘, b'^=x''^+y"^.

Les coefficients angulaires des deux diamètres étant expri-

Y * yJf

més par les rapports devront satisfaire à la relation

générale

de sorte qu’on aura On en déduit

mm — —, a-

Le point (x',y') étant sur l’hyperbole proposée, et le point (x", j~") appartenant à l’hyperbole conjuguée (189), on aura

r'’ = -,(x'^— a=), y"== (x'^-ya^).

11 en résulte, en substituant dans la relation précédente et en simplifiant,

(x'^-a^)(x''’-ha’) = x'^x"^,

d’où

(0 ou ^ * — ■. — I.

GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE. ipS

Mais les équations de condition

prouvent alors immédiatement qu’on a aussi

= ' y''-r^=-bK

Ajoutant les équations ( i ) et (2), nous aurons

(x'’ ■+-/') — {x"’-h y"‘) =a^—b‘, c’est-à-dire, en remplaçant les parenthèses par leurs valeurs,

fl"—

La différence des carrés de deux diamètres conjugués de l’hyperbole (^a"‘ — 4^^’) donc constante et égale à la différence des carrés des axes[^a? — 4^’)-

' 191. Considérons [fig-^^] le parallélogramme inscrit entre les deux hyperboles conjuguées, dont les côtés sont égaux aux diamètres conjugués proposés, et dont les angles sont ceux de ces diamètres. Cherchons l’expression de l’aire d’un pareil parallélogramme.

Le parallélogramme construit sur les demi-diamètres OD et OE eh sera le quart. Son aire aura pour expression OD = a', multipliée par la perpendiculaire EL abaissée du point E sur OD. Or y—mx étant l’équation de OD, et le point E ayant pour coordonnées x" et y ", on aura

UT — r"—rn^" y"^'—y'x"

en remplaçant m par sa valeur ^5 et l’aire du parallélogramme construit sur OD et sur OE sera (puisque a"=

Mais

a'X.£:rr'.^"=y.''x'-r'x”.

Si l’on remplace x'^ et x"‘ par leurs valeurs déduites des équations des deux hyperboles conjuguées, et si l’on tire de la rela-

1^6 géométrie A7SALTT1QUE.

lion générale = —> x' x”=-j~ -ff, il viendra (190)

OC oc Or O

c’esl-à-dire

(y"x' — y' x"f=à‘{y"'‘ — y'^)=a?b^ ou y"x’ — y' x" = ab.

L’aire [^{y” x' — y' ^"}] du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de l'hyperbole est donc constante et égale à celle (4 ab) du rectangle construit sur les axes.

Le premier des deux théorèmes d’Apollonius est donc seul modifié, lorsqu’on passe de l’ellipse à l’hyperbole.

En désignant par a. rangle*de deux diamètres conjugués, on peut exprimer l’aire du parallélogramme construit sur les demi-diamètres par a'6'sin a. Les axes et deux diamètres conjugués quelconques sont donc liés, dans l’hyperbole, par les relations

fl’’ — b''‘z=a} — A’, a'A'sina = aA.

Remarque. — On pourrait, pour démontrer les deux théorèmes précédents, employer le même procédé que celui suivi pour l’ellipse (1G3, 16i), en remplaçant le cercle par une hyperbole équilatère, c’est-à-dire en considérant l’hyperbole proposée comme la projection d’une hyperbole équilatère ayant même axe transverse.

Asymptotes.

192. Les asymptotes ont pour équations, suivant que la courbe est rapportée à ses axes ou à deux diamètres conjugués,

y — ±-x ou r=±—;X.

On peut considérer les asymptotes comme les limites des tangentes à la courbe, lorsque le point de Contact s’éloigne à l’infini; ou comme les limites des diamètres conjugués de l’hyperbole, lorsque le coefficient angulaire de l’un d’eux tend

vers ± — a

On peut encore regarder les asymptotes comme le lieu des sommets des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués.

L'équation de V hyperbole, rapportée à ses asymptotes, est de la forme (91, Rem. 1 ; 121)

x'y' = consume.

Pour trouver celle consume, considérons (fig. 92) le sommet A : ses coordonnées par rapport aux asymptotes sont égales, car le triangle AOR est évidemment isocèle. De

AO = a = 2 OR cos AOR

on déduit