OR . AR
et
Remarques. — I. Cette équation montre que le parallélogramme construit sur les coordonnées d’un poinltfuelconque M de l’iiyperbole rapportée à ses asymptotes a une aire consunte,
puisque celte aire est égale à x'j'sin 0 ou à ^sin 0, en désignant par 0 l’angle des asymptotes.
Si l’on appelle p l’angle 7' O x, on a
sin 0 = sin 2^ = 2 sin (3 cos p — P
2ab
Il vient donc
gin 0 ~
i-l-Ung’P a’ ab
Le rectangle construit sur les axes ayant pour aire ^ab, l'aire du parallélogramme constant dont il s’agit est la huitième partie du rectangle construit sur les axes, ou du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués.
On arriverait immédiatement à ce résuilat, en remarquant que le losange AROS a pour diagonales a et (Trig., 59).
II. Quand l’hyperbole est équilatère et qu’elle est rapportée à ses asymptotes alors rectangulaires, son équation est
193. On arrive facilement aux résultats précédents par la transformation des coordonnées.
Les formules pour passer des axes rectangulaires Oj et Ox aux axes obliques Oy et Ox', sont (26) :
x = x'cos «-4- j' cos (3, j = a7'sin«+j'sin (3.
Dans le cas considéré, on a .
« = — P et tangp = ~
11 viendra donc
Mais
et
X — {y -\~x')cos^, x={r' — a:')sinp.
sin (3 =
cos (3 =
tang(3
^ I ■+■ lang’(3 é’
(/ 1 + tang’ P
Les formules de transformation seront donc finalement
\Ja?->rb^ ’ \! a} 6’
En substituant dans l’équation aux axes ^ ^
leurs de - et de t déduites de ces formules, il vient a b
d’où
c’est-à-dire, en supprimant les accents.
194. La considération des asymptotes conduit à la manière la plus simple de déterminer la tangente en un point de l'hyperbole.
En effet, si l’on veut mener la tangente au point D [Jig. 91), et si l’on suppose le problème résolu, on sait (189, 11) que la tangente GH sera parallèle au diamètre conjugué du diamètre OD, et que GD ou DH représentera la demi-longueur de ce diamètre conjugué. Le point D étant le milieu de GH, si l’on
CÉOMÉTBIE AAALYTIQUE. 1 99
mène son ordonnée DP el son abscisse DQ par rapport aux asymptotes, le point P sera le milieu de la distance OH, et le point Q le milieu de la distance OG. Pour avoir le pied de la tangente sur chacune des asymptotes, il suffit donc de doubler les coordonnées du point de contact par rapport à ces mêmes asymptotes. En joignant alors l’un des points ainsi déterminés au point de contact donné, on aura la tangente demandée.
On peut facilement vérifier celte construction, en cherchant l’équation de la tangente à l’hyperbole rapportée à ses asymptotes.
En se rappelant la formule générale
on trouve immédiatement ^l’équation de la courbe étant
On en déduit
x,y — j-,x, = — ou, en divisant par lytX,,
Cette équation montre que les coordonnées à l’origine de la tangente sont bien 7x, et 7y,.
195. L’hyperbole et ses asymptotes interceptent sur une sécante des longueurs égales [Jig- g3).
Soit la sécante NMM'N'. Rapportons l’hyperbole au dia- • mètre OD qui passe par le milieu de la corde MM' et à son conjugué OE. On aura
