NM = N'M

Ce théorème permet de construire facilement l’hyperbole, lorsqu’on connaît les asymptotes et un point de la courbe. Car, en menant par le point donné M la sécante NMN' terminée aux asymptotes, il suffira de prendre N'M' = NM, pour

avoir en M' un second point de l’hyperbole. Et en répétant la même construction pour d’autres sécantes passant par l’un des points déjà déterminés, on obtiendra autant de points de l’hyperbole qu’on voudra.

Si l’on donne une asymptote et trois points, il n’y a qu’à mener les sécantes qui joignent l’un des points donnés aux deux autres, pour trouver (en appliquant le même théorème) deux points de la seconde asymptote, et pour revenir à la construction précédente.

190. Le produit des segments déterminés sur une sécante par un point de l’hyperbole et les deux asymptotes, est égal au carré du demi- diamètre parallèle à la sécante.

Considérons d’abord la sécante NMM'N' [Jig. g3). Désignons par a' et b’ les demi-diamètres conjugués OD et OE. Si nous y rapportons la courbe, son équation sera

L’équation de l’asymptote supérieure sera en même temps

Il viendra donc

et MP’ = ^,x=— 6”, a” a”

d’où

NP’— MP’ = (NP — MP)(NP-f-MP) = NM.MN'=6'>.

S’il s’agit de la sécante MRR'M' {Jig. 94), on aura

et RQ> = |^y=,

d’où

MQ> — RQ> = ( MQ — RQ ) { MQ -f- RQ ) = MR . MR' = a’K

Quadrature de l'Hyperbole.