Soit l’hyperbole xy= rapportée à ses asymptotes
On demande d’évaluer l’aire comprise entre l’arc MM', les deux ordonnées MP et M'P' et l’axe Ox (Jig. g5).
Si l’on désigne par u l’aire cherchée, on aura (164), 0 étant toujours l’angle des asymptotes,
«'= rsm9 = T sinS'--
aoi
Il en résulte {Compl. d’Jlg., 100)
« = -T-sinÔ.l.x-j-C.
Si l’on suppose OP = /n,’on aura
u = O pour x — m.
La constante G sera donc égale à
— sin0.l. m.
Par suite
M = — sm0.l. —
li ne restera plus, pour calculer «, qu’à remplacer x par sa valeur OP'. Si l’on veut employer les logarithmes vulgaires,
on devra multipiier log— par
Cette correspondance entre i’hyperbole et ies logarithmes népériens leur a fait donner aussi le nom de logarithmes hyperboliques.
Eile se marque mieux encore lorsqu’on considère i’hyper-
bole équilatère et qu’on prend l’ordonnée du sommet - pour
unité de longueur. Dans ce cas, l’angle des deux asymptotes étant droit, on a simplement (en supposant le point M confondu avec le sommet A de la courbe)
Questions diverses.
198. I. Les perpendiculaires abaissées des foyers de thyperbole sur une tangente à la courbe ont pour moyenne pro/Mirtionnclle le demi-axe non transrcrse.
Nous prendrons l’équation de la tangente sous la forme
y — mx — ^a'nd — b‘= o.
Comme les coordonnées des deux foyers sont o et c, o et — c, et que la tangente passe nécessairement entre eux (180), c’est-à-dire que l’un est au-dessus et l’autre au-dessous, on aura pour les distances des foyers à cette tangente
, — me — a'‘ nd — mc — J/i'nd — b‘
— ^ I nd 1 4- ud
Il viendra donc
CéOMÉTEIE ANALYTIQUE.
I/’ — — m' c} — ( c’ — rt’ )ni‘ —
d’où, en remplaçant c‘~à‘ par et en divisant par — (i +'«’),
199. n. Trouver le lieu décrit pur le sommet <Viin angle déterminé dont les cotés restent constamment tangents à une hyi>erbole donnée.
Soit
l’équation de l’hyperbole proposée. Soient
( I ) r = mx + sja^nd — lé.
les équations des deux tangentes à la courbe. Si elles font l’angle voulu %, on devra avoir
tanga =
m — m’ I + mm'
Si l’on considère les équations (i) et (a) comme simultanées, y et x représenteront les coordonnées du sommet de l’angle mobile. On déduit de l’équation (i)
(>• — mx y = cé né — b".
d’où, en ordonnant par rapport à /«,
(4) («’ — x")m'‘+-i.xy.m — + ’) — o.
Le résultat fourni par l’équation (a), traitée de la même manière, ne diffère du précédent que par le changement de m en m'. Par suite l’équation ( 4 ) a pour racines m et m'. On a donc
m + m = -1 mm = — . -r — ,
d’où
I j, ; rn 7 1 i\Ja''Y'‘ — léx‘-^n^b‘
m — m’ = ^( m 4- /«')’ — 4 mm' — — — ^ — 3 ;
L’équation ( 3 ) donne alors
tanga =
a \Jféy^ — lé a' lé .
rp — xé — b — y’’
telle sera l’équation du lieu.
Si l’on suppose droit l’angle des deux tangentes, on doit poser
c’est-à-dire
tanga =: X ,
— x' — lé — r’ = ".
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 2o3
On trouve alors pour l’équation du lieu
ii‘ — é’.
Le Ifeu est, dans ce cas, une circonférence concentrique à l’hyperbole donnée et ayant pour rayon j/a’ — b^. Pour que ce lieu existe, il faut qu'on ait
ou que f hyperbole tombe dans Fangle aigu des asymptotes.
Ce lieu se réduit à un point, qui est le centre de l’hyperbole, si, cette hyperbole devermnt équiùitère, on a
ce qui veut dire que les asymptotes d’une hyperbole équilatère sont les seules tangentes à angle droit.
Enfin le lieu disparait, si l’on a
ou si r hyperbole est située dans Fangle obtus formé /Mtr ses asymptotes. Dans ce cas, en effet, l’angle formé par deux tangentes issues d’un même point étant nécessairement plus grand que l’angle obtus des deux asymptotés ou plus petit que leur angle aigu (181 ), ne peut être droit.
200. III. Vérifier par F analyse que le lieu des sommets des parallélogrammes qui correspondent aux diamètres conjugués (Time hyperbole donnée, se compose des deux asymptotes.
Des deux côtés adjacents de l’un des parallélogrammes considérés, l'un est tangent à l’hyperbole proposée, l’autre à son hyperbole conjuguée. Les équations des quatre côtés de ce parallélogramme seront donc
( I ) r = mx -P \Ju^nF—b'^,
LesJcoelBcionts angulaires m et m' qui se rapportent aux directions de deux diamètres conjugués, doivent d’ailleurs satisfaire à l’équation do condition
(3) mm' =
On déduit de l’équation ( 3 ) <
L’équation (a) devient alors
(4) ' fi‘my= b\t ± ah \^a^nF— lè.
On tire de l’équation (i), en regardant dans le.« éfpiations proposées j cl x
2o4 géométrie analytique.
comme les coordonnées des sommets du parallélogramme,
yjd‘nx^ — b' = ±[mx — /).
Si l’on substitue cotte valeur dans l’équation { 4 ), il vient a^my— Px ± ab[mx — j), am[ay qp bx) = zp b{ay =f bx)
[nm ± b) [ay rp bx) = o.
c’es^à-di^e
ou
Les signes supérieurs et inférieurs doivent être pris ensemble. On satisfera à l’équation trouvée, en posant
ou bien
ay^zbx = o.
La première relation donne /ti= ±-> et correspond aux diamètres conjugués dirigés suivant les asymptotes. La seconde relation donne
Elle représente réellement le lieu demandé, et l’on voit que ce lieu n’est autre chose que l’ensemble des deux asymptotes.
201. IV. Etant donné un arc iThyperbole, retrouver les éléments de la courbe (fig. 96).
En menant deux cordes parallèles quelconques mm\ nn', et en joignant leurs milieux, en aura un diamètre transverse OH de la courbe. On en obtiendra un second OM, en prenant deux autres cordes parallèles pp' etqq'. Les deux diamètres construits feront connaître par leur intersection le centre Ode l’hyperbole. On aura alors la direction du diamètre conjugué de l’un des diamètres tracés, en menant par le centre de l'hyperbole une parallèle aux cordes qui l’ont déterminé. On connaîtra donc les directions de deux diamètres conjugués et la demi-longueur OH = a! de l’un d’eux. Pour déterminer la demi-longueur OK = b' du second diamètre, menons une tangente à l’hyperbole par le point M, c’est-à-dire une parallèle aux cordes pp' et qq'. L’hyperbole étant rapportée aux axes OH et OK, l’équation de cette tangente sera
,r.r, rr,
Si l’on y fait x = o, il vient
yy, = -b” ou ê"=OT'.MP,
en remplaçant y par — OT'. Le demi-diamètre cherché sera donc une moyenne proportionnelle aux longueurs OT' et MP. Connaissant l’angle HOK et les longueurs a' et b', on achèvera le parallélogramme construit sur les deux diamètres conjugués, et les diagonales de ce parallélogramme
GÉOMÉTIIIE ANÀL1TIQVE. ao5
seront les asymptotes de l’hyperbole. Les axes sont d’ailleurs les bissectrices des angles des asymptotes. Pour avoir leurs longueurs, on peut se servir de la tangente déjà tracée dont l’équation par rapport aux axes est
■^•^1 xr, ,
fl’ é’ ~ ’
et qui donne xx, = a’ pour jr = o. On doit remarquer que, connaissant fl, on a immédiatement b, puisque les asymptotes sont tracées {189, II). Pour déterminer a, on peut aussi avoir recours au théorème du ii” 196.
