PROPRIÉTÉS DE LA PARABOLE

Rappel des notions précédentes.

2(fâ. L’équation d’une parabole peut toujours être ramenée à la (orme

(,) x^=apx.

“i P est le paramètre de la courbe. Les axes étant supposés rectangulaires, l’axe des x est \axe de la parabole. Elle na qu’un sommet qui est l’origine des coordonnées ; elle n’a pas de centre, ou son centre est à l’infini.

La valeur

(a) y=±^ipx,

déduite de l’équation ( i ), prouve que l’on ne peut donner à x que des valeurs de même signe que p : la parabole s étend donc d’un seul côté. Lorsqu’on fait croître x (en valeur absolue) de O à 00 , croît de même de o à oo .

On obtient le/ojerF en portant sur l’axe de la courbe(^gT- 97 )> dans le sens où elle s’étend et à partir du sommet, le quart

^du paramètre ap.

Pour avoir la directrice, il suffit de se rappeler (1^) que son équation est

On n’a donc qu’à prendre, de l’autre côté de l’axe des y, OD = 0F, et à élever par le point I) une perpendiculaire DL à l’axe de la courbe. La distance du foyer à la directrice est

ao6 GÉOMÉTRIE A^ALYTIQUE.

donc égale au demi-paramètre p, et le sommet est au milieu de cette distance.

Si l’oii considère un point M quelconque pris sur la courbe, le rayon vecteur MF a pour expression

La courbe a bien la forme indiquée sur la figure. On le voit

en remarquant que le coefficient angulaire de la tangente ^

décroît depuis oo pour j = o jusqu’à o pour j = oo . L’arc OB tourne donc sa concavité vers les j négatifs (82). La courbe, en s’éloignant des axes coordonnés, tend à devenir paraHèle à son axe.

Si l’on considère un point intérieur e la parabole, il aura, en valeur absolue, une ordonnée inférieure à celle du point de la courbe qui a la même abscisse. Si l’on considère un point extérieur à la courbe, il aura une abscisse moindre algébriquement que celle du point de la courbe qui a la môme ordonnée. Par suite, selon qu’un point (2r,j) est intérieure la parabole, extérieur à la parabole, ou lui appartient, on a

y^—7.px y->—7px>o, r^=7px.

Enfin, il est évident que, pour un point N intérieure la courbe, on a , en comparant son rayon vecteur NF à sa distance NQ à la directrice,

NF < NQ.

Pour un point N extérieur à la courbe, on a au contraire

NF > NQ.

Ainsi les points intérieurs à la parabole sont plus rapprochés du foyer que de la directrice ; c'est le contraire pour les points extérieurs.

L’équation (1) donne

Les carrés des ordonnées de la courbe sont donc proportionnels aux distances de leurs pieds au sommet de la parabole.

Si l’on fait dans l’équation (i)