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on trouvo
GÉOMÉTRIE ANAETTIQUE. WJ
L’ordonnée du point de la courbe qui se projette au foyer représente donc le demi-paramètre ; en d’autres termes, si Von mène par le foyer une corde perpendiculaire à Vaxe, elle représente le paramètre de la parabole.
Menons par le sommet une droite inclinée à 45" sur l’axe de la parabole , c’est-à-dire bissectrice de l’angle des axes. Son équation étant y = x, son second point d’intersection avec la parabole aura 2 p pour ordonnée ou pour abscisse.
203. On peut regarder la parabole comme la limite d’une ellipse dont l’un des foyers et le sommet correspondant restent fixes, tandis que le grand àxe croît indéfiniment.
Nous savons, en effet (66), que si l’on rapporte une ellipse à son grand axe et à la tangente au sommet X' {Jîg. 98), son équation devient
ou
T’ -f- b’x^ — 2 ai’ X = O, i’ i’ ,
r’ — 2 — X rX’.
•'an’
Les points A' et F' devant rester invariables, on peut poser
Il en résulte
c’est-à-dire
a ^ Ha «’ a 4«
A mesure que a augmente, — converge vers p, tandis que —
tend vers zéro. A la limite , c’est-à-dire pour a = co, l’équation ( I ) devient donc
y’=.y. px :
elle représente une parabole dont le paramètre est 2/1, c’està-dire qui a les points A' et F' pour sommet et pour foyer.
On voit maintenant pourquoi la quantité 2 — [qui représente
la corde menée par l’un des foyers de l’ellipse perpendiculairement au grand axe (202)] s’appelle souvent paramètre de l’ellipse.
On peut appliquer ce qui précède à l’hyperbole.
20V. Remarque. — Nous avons trouvé (67) pour équation de
ao8 GÉOMÉTKIE A^NALYTIQUE.
l’hyperbole rapportée à son axe transverse et à la tangente au sommet de droite A,
fl’ — lab'x = O,
ou
Zi> 6’
— est encore le paramètre de l’hyperbole. Si l’on pose d’une manière générale
on voit que Yéquation
(A) jr‘=2px + qx^
peut représenter les trois courbes du second degré; suivant qu’on a q<^o, q~^o, q = o, la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.
Construction de la courbe.
