MF+MR = QR

. c’est-à-dire

MF = MQ.

Tangente et Normale.

208. L’équation de la tangente à la parabole en un point (x,, y*,) est immédiatement (73), d’après l’équation de la courbe,

Il faut joindre d’ailleurs à cette équation l’équation de condition

r? = 2/>xi.

L’équation de la tangente, qu’on peut écrire

— y \ =px — px, ou yy, — i px, = px — px, , revient donc à celle-ci :

yy, = p{x -h X,).

Pour construire la ungente, on peut chercher les points où elle coupe les axes. Si l’on suppose y = o, on trouve

si l’on suppose x = o, on trouve

E^=Zl.

ai O GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

On voit qn’on peut encore meure l’équaiion de la langenle sous la forme

Ce qu’on vient de dire montre que chaque coordonnée de la tangente par rapport à l’origine ne dépend que de la cooi'donnée du point de contact sur l’axe considéré.

Si l’on veut avoir la tangente au point M dont les coordonnées sont MP et OP {fig. 102), on n’aura donc qu’à prendre de l’autre coté du sommet, OT = OP ou bien, sur la partie po-

MP

silive de l’axe des = En joignant le point M au

point T ou au point H, on obtiendra la tangente à la parabole au point M.

La distance TP entre le pied de l’ordonnée du point de contact et le point où la tangente rencontre l’axe des a: s’appelle la sous-tangente par rapport à cet axe. La sous-tangente TP, par rapport à l’axe des x, est égale au double de l’abscisse du point de contact, puisque OT = OP.

La distance HR entre le pied de l’abscisse du point de contact et le point où la tangente rencontre Taxe des r, est la soustangente par rapport à cet axe. D’après ce qu’on vient de dire , la sous-tangente HR, par rapport à l’axe des y, est égale à la moitié de l’ordonnée du point de contact.

209. L’équation de la normale en un point donné (x,, de la parabole est

On en déduit

pr—px> = ^ + ^<X' ’

ou

px-^.r>^=x< (/>+•*•.)•

Si l’on suppose / = O dans cette équation, il vient

Cette valeur représente l’abscisse du point N où la normale vient couper l’axe des x.

La distance N P entre le pied de l’ordonnée du point de contact et le point où la normale rencontre l’axe desx{Jig. 102) s’appelle la sous-normale par rapport à cet axe. Cette sousnormale a pour expression

ON — OP 00 P Xt — X,— p.

GÉOMÉTIUE AAALYTIQUE. ■ 2ii

Ainsi, dans Ui parabole, la sou s-no r male est constamment égale au demi-paramètre de la courbe. (C’esl là une propriété caractéristique de la parabole.)

On aurait pu y arriver immédiatement en remarquant que, d’après le triangle rectangle tMN, l’ordonnée MP du point de contact est moyenne proportionnelle entre la sous-tangente TP et la sous-normale NP. On a donc

On voit que, le point M se confondant à la limite avec le sommet de la parabole, le pied N de la normale sur l’axe de la courbe se confond avec un point situé à une distance du sommet égale à ou double de OF.

210. Si par un point M pris sur la parabole on mène une parallèle A l'axe du côté de la directrice , la tangente au point M est la bissectrice de l’angle formé par cette parallèle et par le rayon vecteur MF (jig. loa).

Considérons le triangle FMT. On a (202)

MF = ar,-f-^, TF = OT-|-OF = a:, -i-^-

Le triangle FTM est donc constamment isocèle, et l’angle TMF, égal à l’angle MTF, est aussi égal à l’angle alterne-interne TMQ, c’est-à-dire que la tangente MT est bien la bissectrice de l’angle FMQ.

La normale MN est, à son tour, la bissectrice de l’angle MFQ', formé en prolongeant la parallèle à l’axe du côté opposé à la directrice.

Remarques. — I. Si l’on prolonge la tangente suivant MT', l’angle T'MQ', égal à l’angle 'FMQ, sera égal à l’angle TMF. Par conséquent, le rayon vecteur MF et la parallèle MQ' à l'axe, situés tous deux d'un même côté de la tangente en M, sont également inclinés sur cette tangente, de part et d" autre du point M (*).

IL On peut facilement construire la tangente [fig. 102) en remarquant que le triangle FMQ (DL étant la directrice) est isocèle. La tangente MT étant bissectrice de l’angle FMQ, sera

{*) Tout rayon lumineux ou calorifique qui vient rencontrer la parabole parallèlement à son axe» sc réfléchit donc au foyer. Réciproquement, si la source est placée au foyer» les rayons qui en émanent sont rendus parallèles par l’interposition delà parabole.

(iÉOMÉXniE ANALYTIQUE.

perpendiculaire sur le milieu de la base FQ de ce triangle. On n’aura donc qu'à abaisser du point M la perpendiculaire MQ sur la directrice. , à joindre FQ, et à abaisser MT perpendiculaire sur FQ, pour avoir la tangente au point M.

[II. Le pied H de la tangente MT sur FQ est le milieu de FQ ; le point 0, sommet de la courbe, est le milieu de la distance FD du foyer à la directrice : le point H doit donc se trouver sur Taxe Oy. On en conclut que le lieu des projections du foyer sur les tangentes à la parabole n’est autre que lu tangente au sommet.

IV. La figure MQFN étant un parallélogramme, on a NF = MQ = MF.

Le triangle FMN est donc Ksocèle comme le triangle FMT, et , le foyer F est le milieu de l’ hypoténuse du triangle rectangle formé par l’axe avec la tangente et la normale en un point quelconque.

211. Si l’on veut mener à la parabole une tangente passant par un point extérieur donné, les inconnues du problème seront les coordonnées x„ y,, du point de contact. En désignant par a, (3, les coordonnées du point donné, on aura à résoudre les deux équations

(1) Py,=p{a -y X,),

(2) . y‘=2px,.

La première exprime que la tangente cherchée passe par le point donné.

Si l’on regarde les inconnues x,, ji, comme des coordonnées courantes, il faudra déterminer les points où la droite représentée par l’équation (i), c’est-à-dire la corde des contacts, coupe la parabole proposée représentée alors par l’équation (2). En joignant les points d’intersection obtenus au point donné, on aura les deux tangentes qui répondent à la question.

Il est facile de vérifier que le problème est toujours possible et admet deux solutions, lorsque le point (a, (3) est bien extérieur à la courbe.

212. On peut aussi, en s’appuyant sur ce qui précède, mener géométriquement une tangente à la parabole par un point extérieur.

. Du point donné N comme centre, avec NF pour rayon, décrivons une circonférence [fig. io3). Le point N étant extérieur, sera plus jirès de la directrice que du foyer, et la circonférence décrite coupera la directrice en deux points L et L'.

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CÉOHÉTIUE ANALYTIQUE. 2l3

On mènera les cordes FL el FL', et du point N on abaissera sur ces cordes les perpendiculaires NT et NT', qui seront les tangentes demandées. En effet, menons par les points L et L' des parallèles à l'axe jusqu’à la rencontre des droites NT et N'T' en M et en M'. On aura