MF = ML; M'F = M'L

les points M et M' appartiennent donc à la parabole. De plus, les droites NT et NT' coupent en deux parties égales les angles FML et FM'L' (210).

213. Si l’on veut mener à la parabole une tangente parallèle à une direction donnée, les inconnues du problème seront encore les coordonnées du point de conlact. Soit m le coefficient angulaire qui correspond à la direction donnée. On aura à résoudre les deux équations

(2) Jî = 2px,.

On voit immédiatement que le problème est toujours possible. Les équations (i) et (2) montrent d’ailleurs que le point de contact demandé résulte de l’intersection de la parabole proposée et de la droite ji = qui est parallèle à son axe.

Il est d’ailleurs préférable de chercher l’équation générale des tangentes à la parabole, indépendamment des coordonnées du point de contacta Prenons la droite j = /n.r-f- n, et cherchons la relation qui doit exister entre les constantes m et w, pour que cette droite soit tangente à la parabole y'=ïpx. Si l’on élimine y entre les deux équations, il vient

m’ X* -I- 2 {mn -^p)x -\-n^ = o.

Si la droite considérée est tangente, les racines de l’équation résultante doivent être égales, d’où la condition

[mn — i

c'est-à-dire

— 2 mn 4- P = O ou « = —

L’équation générale des tangentes à la parabole est donc

y = mx -H -t— , 2 m

2i4 géométrie analytique.

et en y donnant à /n la valeur indiquée, on répondra immédiatement à la question : la parabole n’admet qu’une seule tangente parallèle à une direction donnée.

214. Si l’on veut résoudre géométriquement le problème proposé, on se rappellera que le lieu des projections du foyer sur les tangentes à la courbe est la tangente au sommet. Par suite, si la droite GG' marque la direction donnée [fig. io4), il suffira d’abaisser du foyer F sur cette droite la perpendiculaire FK qui coupera la tangente 0^ au point H ; en menant par le point H une parallèle TH à GG', le problème sera résolu. Pour avoir le point de contact de cette tangente TH, on prolongera la perpendiculaire FK Jusqu’à son point de rencontre Q avec la directrice ; et, par le point Q, on mènera une parallèle à l’axe. Le point M où cette parallèle coupera TH, sera- le point de contact demandé. En effet, le point 0 étant le milieu de FD, le point H est le milieu de FQ. Par suite, MF = MQ. Le point M est donc à la parabole, et la droite THM est la bissectrice de l’angle FMQ.

Il est bon de remarquer que les dernières constructions indiquées (212, 214) ne supposent pas la parabole tracée.

Diamètres.

215. Pour trouver l’équation des diamètres de la parabole y^ = o.px ou — %px = o, rappelons-nous (112) qu’il faut égaler à zéro la somme des dérivées partielles du premier membre de l’équation par rapport à j et à x, après avoir multiplié la dérivée relative à j par le coefficient angulaire m du système de cordes considéré.

Il viendra donc pour l’équation demandée

?.my — 2n = (> ou

Ainsi, comme nous le savions déjà (113), tout diamètre de la parabole est parallèle à l’axe, et toute parallèle à l’axe est un diamètre.

On peut vérifier facilement que la tangente à l’extrémité d ’un diamètre est parallèle au système de cordes conjugué à ce diamètre (114). En effet, la tangente au point (a;,, y,) a pour

coefficient angulaire — ; et le coefficient angulaire des cordes T'

conjuguées au diamètre qui passe par le point (x-, , ri), satisfait à la relation

l'i = î- , (1 ou m = •

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ai5

216. Équation de la parabole rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente qui lui correspond.

D’après les axes choisis, à une même valeur de x doivent , correspondre deux valeurs de ^ égales et de signes contraires.

' L’équation de la courbe ne renferme donc que des puissances paires de j : ce qui exclut le terme en xy et le terme en y. De plus, l’origine étant le point de contact de la tangente prise pour axe des^, la parabole passe par l’origine : ce qui exclut le terme Indépendant des variables. Ainsi l’équation, d’après ces premières remarques, serait de la forme

-i- Cx’ -I- Ex = o.

Mais, comme il s’agit d’une parabole, la condition B* — 4AC = o doit être remplie. Puisque B = o, on a donc nécessairement C = O ; ce qui ramène à la forme

A^’-f-Ex = o, ou y' = 'ip'x.

L’équation trouvée étant de même forme que l'équation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet, toutes les propriétés et toutes les équations qui ne dépendent dans ce cas que du paramètre 2p, dépendront d’une manière identique du paramètre ip' , lorsque la parabole sera rapportée à un diamètre et à la tangente correspondante.

> En particulier, l’équation de la tangente à la parabole au point (Xi, J,) étant, dans le premier système,

yy, = P {x -y X,),

cette équation sera dans le second système yy, p' {x + X,);

ce qui montre que la sous-tangente sera toujours égale au double de l’abscisse du point de contact, que les axes choisis soient obliques ou rectangulaires.

Il est d’ailleurs facile d’exprimer p' en fonction de p.

Désignons par(x„/,) les anciennes coordonnées OP et MP du point M (nouvelle origine). Nous aurons, en menant par le sommet O la corde OAB parallèle à la tangente Mj' [Jig. io5):

MA = OT = pP = X, et

MT=v/MP*-|-TP>=v(rî-l-4^; =<JA.

Les coordonnées du sommet O par rapport aux nouveaux axes sont donc exiirimées par

X, cl <^y'\-Jr^x\.

216 GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

L’équation y'—%p'x devant être satisfaite par ces valeurs, on aura

d’où

Mais, par rapport aux anciens axes, on a

d’où

Il vient donc