p' — -ip-y^x
Le nouveau paramètre ip' est, par suite, égal à l’ancien paramètre 2 P augmenté de quatre fois l’abscisse de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes. Comme on peut’écrire
Pi
on peut dire encore que la distance du foyer à la nouvelle origine représente le quart du nouveau paramètre.
Aire d’un segment parabolique.
217. Supposons qu’on demande l’aire comprise entre l’arc de parabole MOM' et sa corde MM'(^g. 106).
Rapportons la parabole au diamètre Ox conjugué à la corde MM' et à la tangente correspondante Oy. Son équation sera alors
Si l’on désigne par u l’aire OPM , comprise entre l'arc OM et les coordonnées OP et MP du point M, par 9 l’angle yOx, on aura (IG^ii')
m' = jsin 6 = . sin 6 . *‘.
Il en résulte [Compl. d’Alg., 160):
« = 2 V • sin 0 . a: ’ C.
Pour a; = O, on a « = o. Par conséquent, la constante C est égale à zéro. On a donc simplement
2 , 2 « = - y' a/i'a- . sin 0 . .r = ^ jt a sin 0.
GÉOMÉTlllE ANALYTIQUE. T.X'J
Dans celle formule, a: el j soni les coordonnées du poini M, exlrémilé de l’arc OM.
Considérons le parallélogramme MPOQ formé sur ces coordonnées. L’aire de ce parallélogramme aura pour expression
yx sin 9. Donc l’aire mixliligne MOP esl les ^ de l’aire du parallélogramme MPOQ. On prouvera de même que l’aire mixliligne M'OP esl les ^ du parallélogramme M'POQ'. On arrive donc à ce résullal remarquable ;
L’aire d’un segment parabolique tel que MOM', est les ^ du
parallélogramme qui a pour côtés la corde et la flèche du segment, cette flèche étant mesurée sur le diamètre conjugué à la corde du segment.
L’aire du iriangle MOM' esl la moilié de celle du parallélogramme MM'QQ'. Si l’on regarde le poini O comme le sommet du segmenl MOM' el là corde MM' comme sa base, on pcul
donc dire encore qu’un segment parabolique équivaut aux ^ du triangle de môme base et de même hauteur.
Questions diverses.
218. I. Vérifier par l'analyse que le lieu des projections du foyer sur les tangentes à la parabole y' = 7.px est la tangente au sommet.
Prenons l’équation de la tangente sous la forme
(i) y=mx-ir-£—
im
L’équation de la perpendiculaire abaissée du foyer sur cette tangente est
Les équations (i) et (2)' sont simultanées, lorsqu’on suppose que x et y représentent les coordonnées du point d’intersection des deux droites considérées. Si on les retranche membre à membre, on obtient
O = mx H z= ( 4- I ) X,
c’est-à-dire
équation de l’axe des y ou de la tangente au sommet.
219; 11. Trouver le lien décrit par le sommet d’un angle déterminé dont les côtés restent constamment tangents à une parabole donnée.
Soit
y' = i,px
2i8 géométiue analytique.
l’équation do la parabole proposée. Soient
les équations des deux tangentes à la courbe. Si elles font l’angle voulu a, on devra avoir'
3) . . tanga =—
° 1 -i- mm
Si l’on considère les équations (i) et (2) comme simultanées, r et x représenteront les coordonnées du sommet de l’angle mobile.
On déduira de l’équation (i)
2 mj' — + /J,
d’où, en ordonnant par rapport à ni,
(4) ix.m' — iy.m + p = O.
Le résultat fourni par l’équation ( 2 ) traitée de la même manière ne peut différer que par le changement de m en /«'. Par suite, l’équation (4) a pour racines m et m‘. On a donc
m + ni = — ) mm = x— j
