X IX
I — ni'= v/(ni + ni')* — 4
— ipx
L'équation ( 3 ) donne alors
— tanga =
2 vV’ — 2/10-
On en déduit, en élevant au carré,
47^— 4tang’a.x’— 4;i(2 + tang’a)x — /l’tang’a = o.
Cette équation est' l’équation du lieu : elle représente évidemment une hyperbole.
Pour une même valeur de x, cette équation donne deux valeurs de 7 égales et de signes contraires. Par conséquent, l’hyperbole est rapportée à son axe transverse. Pour avoir l’abscisse du centre, il suffira d’égaler à zéro la dérivée partielle du premier membre de l’équation par rapport à X (lH). Il viendra
c’est-à-dire
Stang’a.x — 4/>(2 4- tangua) = o, 2 + tang’a
2tang'a
Si l'on transporte l’origine en ce point, les termes du second degré ne
changeront pas, lu terme en x disparaîtra et le terme indépendant deviendra (12S)
/ y , . J ^ 2 + tang’a
— 4/j(a + tang’a x ;
, , ' ' ° ' atang’a ^
-;>’tang'aH
4/^*(i -î-tang’a)
,■ ~ tang’a sin^a
L’équation de l’hyperbole rapportée à son centre sera donc
4 — 4 tang’ a . x’ -f- = O,
® sin^a
ou
r'— tang’a. X H — = o.
sin’a
On voit alors que les asymptotes de la courbe ont pour équations y = ± tanga. X.
Si on met l’équation de l’hyperbole sous la forme ordinaire
sin’ a tang’a sin’a
on trouve pour valeur de l’axe transverse
"Àp 2/.»cosa sinatanga” sin’a ’
cl pour valeur de l’axe imaginaire
sina
La demi-distance focale de l’byperbole sera donc égale à
/>’cos’a
sin'a
P* ^ P sin’a sin’a
Mais la nouvelle abscisse du foyer de la parabole donnée est, d’après ce qui précède^
p^ (a-t- tang’a)/? a;;(i teng’a) p 2 atang’a atang’a sin’a
Ainsi le foyer de la parabole se confond avec le foyer de droite de l'hyl>erbole obtenue.
De plus, l’équation de la directrice de la parabole devient (par suite, rie la transposition de l’axe des j au centre de l’hyperbole)
P (a + lang’g)/) p ,
•i a tang’a tang’a’
GÉOMÉïlUE ANALYTIQUE.
tandis que l’équation de la directrice de droite de l’hyperbole est [d’après
la formule connue
sin’a tana’a
tang’a
La directrice de la parabole se confond dohe aussi avec la directrice de droite de l’hyperbole.
Si l’on suppose droit l’angle des deux tangentes à la parabole, on doit poser
tanga = 00 ,
c’est-à-dire, d’après la valeur
— tanga =
t.\J y' — 2 px 2.x -4- P ’
2X P O ou
On en conclut que le lieu des sommets des angles droits circonscrits à ta parabole est précisément la directrice de la courbe.
Il est à noter que, si les tangentes à la parabole doivent faire, au lieu de l’angle a, l’angle supplémentaire n — a, comme l’équation qu’on vient d’étudier contient seulement tangua, rien ne sera changé à la solution. En effet, lorsque deux tangentes à la parabole forment l’angle tt — a, elles forment aussi l’angle a, et réciproquement. En outre, les points situés à droite de la directrice de la parabole correspondent aux tangentes dont l’angle est obtus, et les points situés à gauche aux tangentes dont l’angle est aigu ; donc, la partie de droite de l'hyperbole convenant à l’angle a supposé obtus, la partie de gauche conviendra à l’angle n — a.
fiema/Yjue. — Nous venons de dire que, de chacun des points extérieurs situés à droite de la directrice de la parabole partent deux tangentes dont l’angle est obtus, tandis que l’angle des tangentes qui partent des peints situés à gauche de la directrice est aigu. On le vérifie immédiatement en reprenant l’équation
— tanga =
2px . —2Jr^—2pX
— ou tanga = —
Tant que le point de départ (x, des tangentes sera à droite de lu directrice, on aura
c’est-à-dire
tanga <0.
Lorsque ce point (x, /) sera à gauche de la directrice, son abscisse seèa négative et plus grande que en valeur absolue. On aura donc
c’est-à-dire
2X +]> <0, langa > O.
220. III. Elnnt donne un arc de parabole, retrouver les éléments <le la eourbe.
Si l’oii mène {Jtg. 107) deux cordes parallèles mm', nn', leurs milieux détermineront un diamètre ML do la parabole. La parallèle T'MT menée par le point M aux cordes mm' et nn', sera la tangente à la courbe au point M ; et si l’on fait l’angle TMF égal à l’angle LMT', la droite MF sera un lieu du foyer F (210). Doux autres cordes parallèles pp' et 77' permettront de déterminer un autre diamètre RQ et une autre tangente S'RS. Si l’on fait l’angle SRF égal à l’ànglo QRS', la droite RF sera un second lieu du foyer F qui se trouvera dès lors à l’intersection des droites MF et RF. La parallèle menée par le point F à la direction des diamètres . donnera l’axe de la courbe. Si l’axe coupe l’ârc proposé, on aura le sommet de la parabole en A. Sinon, on abaissera du foyer F sur la tangente T'MT la perpendiculaire FI; le point I appartenant à la tangente au sommet, on n’aura qu’à faire passer par le point I une perpendiculaire à l’axe ; le pied de cette perpendiculaire sur l'axe sera le sommet. Si l’on prend AD = AF, le point D sera le pied de la directrice.
