DES SECTIONS CONIQUES ET CYLINDRIQUES
Des sections planes d'nne surface conique de révolution.
221. Nous reviendrons au point de vue des anciens et nous assignerons une nouvelle origine commune aux trois courbes du second degré, en les étudiant comme sections d’un cône par un plan. ’
Considérons une surface conique de révolution, c’est-à-dire une surface engendrée par une droite tournant autour d’un axe fixe qu’elle coupe toujours au même point, et avec lequel elle fait toujours le même angle. Cet angle constant est le demi-angle de la surface qui a pour sommet le point d’intersection de l’axe et de la génératrice : comme il s’agit do droites illimitées, le sommet de la surface la partage en deux nappes indéfinies.
Désignons par 2(3 l’angle de la surface, et coupons-la (Jig. 108) par un plan qui détermine la section AMB. Menons par l’axe HH' un plan perpendiculaire à celui de la section : ce plan coupera le plan de la section suivant la droite AB, et la surface conique suivant les génératrices SF et SG. Nous rapporterons la section AMB à la droite AB prise comme axe des x, et à la perpendiculaire A y à cette droite : cette perpendiculaire A J, intersection du plan sécant et du plan- tangent à la ■surface conique au point A, est évidemment tangente en A à la Courbe AMB [Géom, descri p,, Livre II).
233 <;ÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
L’angle S\x mesure l’angle du plan sécant ei de la génératrice SA ; nous le représenterons par a. Nous poserons en outre
' SA = d.
Ceci posé, prenons un point M sur la section et menons son ordonnée MP : MP sera perpendiculaire au plan FSG (Géom., 183). Par MP, conduisons un plan perpendiculaire à l’axe HH' : il coupera la surface (puisqu’elle est de révolution) suivant une circonférence de cercle IML, et l’on aura
MP’ ou r’=IP.PL.
Il suffit donc, pour avoir l’équation de la section AMB, d’exprimer les deux facteurs IP et PL.
Le triangle AIP donne immédiatement
IP sin a
AP ou X cos [3’
c’est-à-dire
X sin a
" — cos(3 ■
Menons par le point P la parallèle PDK à la génératrice SG. Nous aurons
