PL = DC=AC — AD
Le triangle SAC donne
AC = 2</sinp.
Le triangle ADP donne ensuite
AD sin (« 3 P)
d’où
Il en résulte
AP ou X cos (3 37 sin (a -4- 2(3)
AD
cos (3
«T J • a Sin («-h 2 0)
PL = 2cf sm 0 3 — — • X.
^ cosp
L’équation de la section sera donc
, , , , . „ sina.sin(a-|-2.S)
(i) j’=3t/sm«tang0.a; CL-x’.
Cette équation peut représenter les trois courbes du second
GÉOMÉTRIE AN\LYTIQUE.
degré (204) : elle prouve que la droite AB est l’axe focal de la
section. Suivant que Ja quantité
sinasin(«-|-2p)
est posi-
cos’(3
tive, négative ou nulle, on obtient une ellipse, une hyperbole ou une parabole. L’angle a ne pouvant dépasser i8o”, le rap-
port
sin a
est essentiellement positif; par suite, a-f-2(3 ne
cos’ (3
pouvant surpasser 36o® :
L’ellipse correspondra à
sin (a-i-2(3)>o l’hyperbole correspondra à sin(a -h 2{3)<; O la parabole correspondra à sin (a -t- 2(3) = o
OU à
ou à
OU à
■ On peut remarquer que lorsqu’on a a-f- 2(3<;i8o“, le plan sécant coupe toutes les génératrices de la surface sur une même nappe, ce. qui correspond bien à la nature de l’ellipse, courbe fermée. Lorsqu’on a a + 2[3>i8o“, le plan sécant coupe à la fois les deux nappes, mais ne rencontre sur chacune d’elles qu’une partie des génératrices : l’hyperbole est, en effet, composée de deux parties illimitées. Enfin, lorsqu’on a a -H 2^ = 180”, le plan sécant parallèle à la génératrice SG, rencontre sur une même nappe toutes les génératrices moins SG; et la parabole est une courbe illimitée dans un seul sens.
222. On peut demander, réciproquement, si sur une surface conique de révolution déterminée on peut toujours placer une courbe du second degré donnée par son équation.
L’équation qui réunit les trois courbes du second degré, lorsqu’on les suppose rapportées à l’axe focal et à la tangente à l’un des sommets^correspondants, est de la forme (204)
y^= 2 px -H qx^.
La question posée revient donc à chercher si l’on peut toujours trouver pour les constantes rf et a des valeurs admissibles, lorsqu’on identifie l’équation qu’on vient d’écrire et l’équation générale du n“ 221.
On aura
(3) /> = rf sin a tang [3 »
et
sin a sin («4- 2 (3)
CüS’^
Mais ( Trig., 26)
COS 2(3 — cos(2a 2(3) = 2sin{a + 2(3)sin a. L’équalLon (4) devient, par suite,
C0s(2a-|- 2(3) .C0S2|3 = 2Ç cos’
d’où
cos (2a + 2^)= 2 cos’ (3 I -f- 2^ cos’ (3= 2(l ^)cos’ (3—1.
On a, en effet,
cos 2 (3 = cos’ (3 — sin’P = 2cos’P — i.
Le second membre de l’équation (4) ainsi transformée, devant tomber entre -l-i et — i, puisque le premier est un cosinus, on devra avoir à la fois
2(h-9)cos’(3 — i<[i et 2 ( n- qi ) cos’ [3 — 1> — i,
c’est-à-dire
cos’S^ — î — et i-)-Q>o.
Dans le cas de l’ellipse {i a étant le grand axe de la courbe
et 2 6 le petit axe), q = — — • Les deux inégalités précédentes étant alors nécessairement satisfaites, on obtiendra toujours pour 2 a -t- 2 (3 et, par conséquent, pour a une valeur convenable. Cette valeur de a entraînera pour d une valeur positive, comme le montre l’équation (3).
11 en résulte qu’«ne ellipse quelconque peut toujours être placée sur une surface conique de révolution déterminée.
Dans le cas de l’ hyperbole, q = —• q étant positif, l’inégalité i-|-7>o est satisfaite d’elle-même, tandis que l’inégalité
cos’ S < — —
devient
. cos’ P <
fl’ -t- 6’ '
Mais le demi-angle des asymptotes de l’hyperbole étant désigné par ^ 0, nous'*savons (193) qu’on a
cos’ -6 = — ,2 fl’-
GÉOMÉTRIK ANALYTIQUE.
L’inégalilé cos’Sc; - — r, revient donc
cos’ 3 < cos’ - 9 on à 3'J>- 0
(puisque le demi-angle du cône est nécessairement aigu comme le demi-angle des asymptotes).
Ainsi, une hyperbole ne peut être placée sur une surface conique de révolution, qu’autant que l’angle de la surface surpasse l’angle réel des asymptotes.
Dans le cas de la parabole, q = o, et les inégalités considérées sont satisfaites d’elles-mêmes.
Une parabole quelconque peut donc toujours être placée sur une surface conique de révolution déterminée.
Remarque. — Dans le cas de la parabole, l’équation (4) devient
cos (2 a 2 (3) = cos 2 (3,
et il est facile d’en déduire
a = TT — 2 (3,
comme cela doit être (221).
Des sections planes d'une surface cylindrique de révolution.
223. Reprenons l’équation générale des sections coniques sous la forme ' *
2c?sin a sin 3
•' cos 3
sin a sin (a -|- 23) cos’ 3
D’après le triangle rectangle SAE [fig. 108), on peut remplacer </sin3 par Je rayon AE du parallèle qui passe par le sommet A de la section.
Ceci po.sé, si le sommet de la surface conique se transporte à l’infini sur l’axe, elle dégénère en une surface cylindrique de révolution ; et si l’on suppose que les génératrices de la surface continuent à s’appuyer sur la section circulaire AE, le rayon de la surface cylindrique obtenue est AE = r.
Pour avoir l’équation de la section cylindrique, il faut faire dans l’équation (i) 23 = o (ce qui donne cos 3= 1 et sin 3 = 0), en même temps que sin 3 = r(rf devient 00 , et le produit indéterminé d sin 3 est réellement égal à r d’après la remarque qui précède). On trouve alors
y‘‘ = 2 r sin ct.x — sin’ a . .»’.
