B’ — 4 AC = O

Comme on en déduit B = db 2 /ÂC, le problème admet deux solutions.

Il est clair que si trois des points donnés sont en ligne droite, c’est-à-dire si le cinquième point («, b) est sur l’un des axes choisis, la courbe cherchée n’est autre que le système des deux axes. On le vérifie facilement en substituant dans l’équation (i) les valeurs trouvées pour les coefficients A, B, C, D, E. Si l’on chasse alors les dénominateurs et si l’on pose ensuite

rt = o ou ft = o,

l’équation se réduit à

xy= O.

Si quatre des points donnés sont en ligne droite, la question est indéterminée; car des deux axes l’un est alors arbitraire, n’étant plus astreint qu’à passer par un seul point. Il en est ainsi à plus forte raison, si les cinq points donnés sont en ligne droite.

2il. Connaissant cinq points d’une conique, on peut en trouver autant de points qu’on veut, en s’appuyant sur le théorème de Pascal ( 235 ).

Soient A, B, C, I), E les cinq points donnés (Jig. 1 15). Formons le contour ABCDE, et supposons qu’on mène par le point A une droite quelconque AF. Si on la considère comme une sécante coupant la courbe en un second point F, ce point F sera le sixième sommet de l’hexagone inscrit ABCDEF. Si l’on prolonge alors AB et DE jusqu’à leur point de rencontre I, CD et AF jusqu’à leur point de rencontre L, le point de rencontre H des droites BC et EF devra appartenir à la droite IL. 11 suffira donc de prolonger le côté BC jusqu’en H sur IL, et de joindre le point II au sommet E. La droite HE prolongée viendra déterminer sur la sécante AF le sixième sommet F de l’hexagone inscrit ou un nouveau point de la conique. Comme la direction de la sécante AF est arbitraire, cette construction fournira autant de points de la conique qu’on voudra.-

Si l’on veut avoir la tangente en l'un des cinq points donnés, on remarquera {^g- 117) que le pentagone inscrit ABCDE peut être considéré comme un hexagone inscrit dont l’un des côtés est devenu tangent à la conique. Si l’on veut mener la tangente en I), on supposera que le point de contact de ce côté est en D. On prolongera alors AE et CD jusqu’à leur

CÉOMÉTIUF, ANALYTIQUE. 243

rcncomre en 1, puis BC et DE jusqu’à leur rencontre en H. Le point de rencontre L de AB avec la droite IH sera aussi le point de rencontre de la tangente en D avec la droite IH. Pour avoir cette tangente, il suffira donc de mener la droite LD.

242. Au lieu de déterminer la courbe proposée en donnant des points disposés d’une manière quelconque sur son contour, on peut faire concourir à sa détermination quelque point remarquable, comme un sommet, un centre, un foyer, etc. '

Chacun de ces points devra nécessairement compter pour deux conditions. Car, s’il appartient à la courbe, ses coordonnées devront satisfaire d’abord à l’équation de la courbe, et ensuite à une autre relation formulant (en fonction des constantes arbitraires) sa propriété caractéristique. Si le point remarquable considéré n’appartient pas à la courbe, ses coordonnées seront déterminées isolément par deux équations de condition déduites de l’équation de la courbe et contenant par conséquent les constantes arbitraires.

Si l’on part de l’équation générale

Ajk’-I- Bætj-)- C.t’-i- E.r -t- i =o,

on sait que les coordonnées du centre sont déterminées par les équations dérivées (111)

aA f-l- Bjt-|- D = O, B/ -t- aCar + E = O.

Donc, si l’on veut astreindre la conique à avoir pour centre le point { p, q), on devra avoir entre ses coefficients les deux relations.

2 Ag -t- B/) -I- D = O, B^ -f- 2 C/> -t- E t= O.

Si l’on peut prendre le centre imposé pour origine des coordonnées , on mettra immédiatement l’équation de la conique sous la forme (125)

A>^ -I- Hxy Cx' + I = O ,

et l’on voit que cette équation ne renferme plus que trois constantes arbitraires.

S’il s’agit d’un sommet , on écrira que le point donné est sur la courbe , et qu’en ce point la tangente est perpendiculaire au diamètre correspondant : ce qui fournira encore deux conditions.

Si le point («, (3) doit être un foyer de la conique, on prendra l’équation focale de la courbe (131)

{x — a)’ -h {y — (3)’ — {ly + mx -f- n)’= o.

«44 nKOMÉTRIE A.\ ALYTIQUE.

(!elU“ (‘(iiialion ne conlenanl plus (jue trois constantes arbitraires, on voit qu’en donnant un foyer, on astreint ta courbe à deux conditions.

243. On peut aussi déterminer la courbe à l’aide de certaines conditions relatives à des droites données.

Comme nous l’avons déjà dit (79), pour exprimer qu’une conique est tangente à une droite donnée, il suffit d’éliminer^, par exemple, entre l’équation de la courbe et celle de la droite , puis d’écrire que les deux racines de l’équation résultante sont égales. On voit que la condition de tangence envers une droite donnée équivaut à une seule condition. Ainsi, au lieu de demander de faire passer une conique par cinq points donnés, on pourra demander de déterminer la conique tangente à cinq droites données.

Pour exprimer qu’une droite donnée .est un diamètre (113), on écrit quelle passe par le centre de la conique [ellipse ou hyperbole) ou quelle est parallèle à l’axe de la courbe (parabole). La connaissance (C un diamètre équivaut donc à une seule condition.

Pour exprimer qu'une droite donnée est un axe de la conique, on écrit qu’elle est un diamètre ; puis, en désignant par m' le coefficient angulaire de la droite, et par m le coefficient angulaire des cordes conjuguées, on remplace m par

— ~ dans la relation générale (113)

Bm -I- 2 C ,

: îî = I

2 Affi -H B

ce qui conduit à la seconde équation de condition. Donner un axe de la courbe, c’est donc donner deux conditions.

Si l’on peut prendre l’axe imposé pour axe des x, par exemple, l’équation de la conique se présente immédiatement sous la forme

A;^-“-f- C2:’-i-Ej; 4-1=0;

et l’on voit qu’il ne reste plus que trois constantes arbitraires.

Pour exprimer qu’une droite donnée y=ax-yb est directrice, on prend l’équation focale de la courbe

(x — «)’4- (/ — (3)’ — ((r-4- mx 4- n)’= o.

L’équation générale de la directrice étant alors ly-ymx-i-n = o, il suffit d’identifier cette dernière équation avec l’équation y — ax — b = 0.

On voit que donner une directrice, c'est astreindre la courbe à deux conditions.

flËOMÉTKIE A^.VLYXIyUE. '24^

Eniiii, pour exprimer qu’une droite est asymptote à une conique, il suffit, comme nous favons déjà dit, d’écrire que l’équation qui résulte de l’élimination de y, par exemple, entre l’équation de la courbe et celle de la droite, a deux racines infinies. Donner une asymptote, c’est donc aussi astreindre la conique à deux conditions.

On peut aussi identifier l’équation de la droite donnée avec l’équation générale des asymptotes indiquée au n° 119.

Si l’on est maître de choisir les axes, on peut prendre la droite donnée pour axe desy^, et l’équation de la conique s’écrit immédiatement (91)

■+■ Cx’ -I- ELr -h I = O.

Il ne reste plus alors que trois constantes arbitraires.

11 résulte d’ailleurs de remarques précédentes (108, 120) que les équations des asymptotes d’une hyperbole étant

y' = mx -h n, y = m'x -f- n', l’équation de la courbe peut se mettre sous la forme (^ — mx — n) {y — m'x — n') -y p—o.

Remarque. — Il faut noter avec soin que certaines conditions peuvent faire double emploi. Si, par exemple, on donne un centre cl un axe, il ne faut pas croire que la courbe est astreinte à quatre conditions; l’axe passant par le centre, il ne faut plus alors qu’une condition pour le déterminer. On peut le vérifier en prenanfla droite donnée pour axe des x. L’équation de la courbe devient

Aj* ■+■ Cx’ ■+■ Ex -f- I = O ,

et les coordonnées p et 9 du centre doivent satisfaire aux équations dérivées

iKq = o, 2Cp-t-E = o.

Or la première de ces relations, à cause de g = o, est satisfaite d’elle-même et n’établit aucune liaison entre les constantes arbitraires.

244. La détermination d’une courbe du second degré exigeant en général cinq conditions (quatre pour une parabole), si l’on astreint une conique à quatre conditions seulement (trois dans le cas de la parabole), le problème sera indéterminé. Si la conique, par exemple, doit passer par quatre points donnés, et si l’on suit la marche indiquée au n" 240, le coefficient B restera arbitraire; c’est-à-dire qu’on aura une infinité de

a46 GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

courbes répoiidani à la question, ün peut se proposer alors de trouver les lieux géométriques constitués par leurs points remarquables ou par les points qui occupent sur ces courbes, ou par rapport à elles, une position bien définie.

Deux exemples simples suffiront pour familiariser avec ce genre de questions.

I® Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont une tangente commune et même sommet (fig. ii8).

Soient A et MT le sommet et la tangente donnés. Soit F un point du lieu. Le point A étant choisi pour origine et les axes étant rectangulaires, nous prendrons l’axe des j parallèle à la tangente MT.

Si l’on désigne par d la distance AT du sommet A à la tangente, l’équation de cette tangente sera

Si l’on désigne par (a, les coordonnées du point F, et si l’on abaisse sur la tangente la perpendiculaire FM, le point M d’intersection aura pour coordonnées — d et (3. La droite AM étant perpendiculaire à la droite FA (210, III), aura pour équation ^celle de la droite FA étant

Substituons-y les coordonnées du point M; il viendra

(3’ = dx.

Telle est l’équation du lieu : elle représente une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet, et ayant la distance d pour paramètre.

2” Trouver le lieu des foyeis des paraboles ayant même sommet et un point commun (Jig, 1 19).

Soient A et M le sommet et le point donnés. Nous prendrons pour origine le point A, et, les axes étant supposés rectangulaires, nous dirigerons l’axe des y vers le point M, dont les coordonnées seront alors o et j,. Soit F ou (a, (3) un point du lieu. L’équation d^ la droite FA sera

La directrice 1)L, qui correspond au foyer F, esl pcrpendicu-

GÉOMÉTRIE AKALTTIQUE. 1^']

laire à FA, et coupe celle droiie en un poinl D, doni les coordonnées soni évidemmenl — a el — (3. L’équalion de la direcirice DL sera donc

Par suiie, la dislance du poinl M à celle direclrice aura pour expression (45)

D’aulre pari, le rayon vecleur MF élani égal à y^(j, — j3)’-t-a:’, on n’aura qu’à poser

pour avoir l’équalion du lieu. En élevanl au carré el en simplifianl, il vienl, louies réduclions failes,

(3 ri-l-«*-t- (3^ vTaM^

C’esl l’équalion d’une cissoïde (70) donl le diamèlre du cercle généraleur esl égal à ses deux branches parlenl de l’origine, langenliellemenl à l’axe des j, el son asymploie esl la droile

245. Au sujel de ce qui précède (244), on peut remarquer que l’équalion de loules les coniques qui passent par quaire points donnés, peut se mettre sous la forme suivante.

Les quatre points donnés étant A, B, C, D {J!g. 120), représentons par P = o el Q = o les équations des droites AB el CD, par P' = o et Q' = o les équations des droites AC et BD, par 1 un coefficient indéterminé. L’équalion

PQ-l-XP'Q' = o

• sera l’équation générale demandée. Celte équation esl en effet du second degré, et elle est satisfaite par les coordonnées du point A qui rendent P = o el P' = o, par les coordonnées du point B qui rendent P = o et Q' = o, par les coordonnées du poinl C qui rendent Q = o et P' = o, par les coordonnées du point D qui rendent Q = o el Q' = o. En donnant une

248 GÉOMÉTRIE AMALYTIQOE.

valeur convenable à on particularise à volonté une de ces courbes.

Parmi les coniques qui répondent à la question, se trouvent les trois couples de deux droites AB et CD, AC et BD, AD et BC (240).

Intersection de deux conrbes dn second degré.

246. Pour obtenir les coordonnées des points communs à deux coniques, il faut chercher les solutions communes à leurs équations

et

Ces équations étant du second degré, si l’on élimine entre elles l’une des inconnues, jr par exemple, on obtiendra en général {^Ig. élém., 211) une équation du quatrième degré en X qui, résolue, fera connaître les abscisses des points communs aux deux coniques et, par suite, leurs ordonnées.

On voit par là que deux coniques ne peuvent se couper en plus de quatre points et, en effet, si elles avaient cinq points communs elles coïncideraient (240).

Il est facile d’obtenir l’équation générale des courbes du second degré qui passent par les points d’intersection des coniques données. Ajoutons les équations (i) et (2), après avoir multiplié la seconde par un facteur indéterminé 1. 11 viendra

Tout système de valeurs de 2: et de 7 qui vérifie les équations (i) et (2), vérifie l’équation (3). Ainsi, l’équation (3) représente une conique passant par les points d’intersection des coniques données, et cette conique est quelconque puisque X est un coefficient arbitraire.

On voit, réciproquement, que tout système de valeurs de x et de 7 qui vérifie les équations (i) et (3), vérifie nécessairement l’équation (2), puisque de

F(a:, 7) = o et de F(a:, 7)-l-X/(x, 7) =0, on déduit

r) = O ou f{x, 7) = o.

11 en résulte qu’il suffit de chercher les points d’intersection

des coniques représentées par les équations (i) et (3), pour avoir les points denîandés. Or on peut disposer de 1, de manière que la conique représentée par l’équation (3) se réduise à un système de deux droites sécantes; et alors la question sera ramenée à chercher les points d’intersection de ces droites avec l’une des coniques proposées.

247. Pour que l’équation générale du second degré représente un système de deux droites sécantes, nous avons vu (108, 3®) qu’il fallait (cette équation étant résolue par rapport à l’une des variables) que la quantité placée sous le radical fût un carré parfait. Si l’on résout par rapport à y, il est sousentendu que le coefficient de x’ sous le radical doit être plus grand que zéro (caractère de l’hyperbole).

On pourra donc former l’équation (3) indiquée au n° 246, on la résoudra par rapport à y, et l’on écrira que le trinôme placé sous le radical est un carré parfait. On sera ainsi conduit à une équation du troisième degré par rapport à >.

Les racines de cette équation qui seront réelles et qui rendront positif le coefficient de x’ sous le radical, correspondront chacune â un système de deux droites sécantes passant par les points d’intersection des coniques données (si elles se coupent en effet).

Quand les deux coniques ont réellement quatre points communs, l’équation du troisième degré en X a ses trois racines réelles, parce que par quatre points on peut en général faire passer trois couples de deux droites sécantes.

La première méthode indiquée, basée sur l’élimination, est préférable à la seconde.

Construction des racines réelles des équations à une inconnue.

248. Étant donnée une équation quelconque F(x) = o, on peut la regarder comme résultant de l’élimination de y entre les deux équations ,r = F (^) et^=o; elle doit donc être satisfaite par les abscisses des points communs aux deux courbes représentées par ces équations. Comme l’équation y=o représente l’axe des x, on voit qu’il suffit, pour trouver les racines réelles de l’équation F (x) = o, de construire la courbe y = F(x), et de déterminer les abscisses des points où elle coupe l’axe des x.

La construction graphique effectuée fera connaître les racines cherchées avec une certaine approximation facile à évaluer, et l’on pourra ensuite en approcher de plus en plus en faisant usage des méthodes connues (voir Compl. d’Alg.).

On peut aussi regarder l’éiiuation F (.r) = o comme résultant

a5o GÉOMÉTRIE AKALYTIQOE.

de l’éliminalion de entre deux équations /{.r, ^ )=o et <p (j:, ^) = o convenablement choisies.

Si l’on construit à une échelle déterminée les courbes représentées par ces équations, les abscisses de leurs points d’intersection représenteront les racines réelles de l’équation F {x) = O. Pour qu’aucune racine réelle n’échappe, il suffit qu’aucune racine réelle de F (a:) = o ne puisse correspondre à une valeur imaginaire de dans l’une des équations/ (jr, r)=o et <f) {x, y) = o, condition qui sera toujours remplie si l’équation ainsi associée à F (x) = o contient jr seulement au premier degré.