Application aux équations du quatrième degré

Toute équation algébrique pouvant être privée de son second iPsme {Compl. d’Àlg., 190), nous prendrons une équation du quatrième degré ramenée à la forme

(1) x' px\-\- qx r= O.

On peut obtenir cette équation en éliminant y entre les équations

(3) py-i^ qx .y- r— O.

Le système formé des équations (i) et {2) est équivalent au système formé des équations (2) et (3). A toute valeur réelle de 2: satisfaisant à l’équation (i), correspond une valeur réelle de y déduite de l’équation (2). Les points d’intersection des courbes représentées par les équations (2) et (3) auront donc pour abscisses les racines réelles de l’équation (1).

Ces courbes sont des paraboles. Pour opérer plus simplement, on peut remarquer que le système des équations (2) et

(3) est équivalent au système formé de l’équation (2) et de la somme des équations (2) et (3). On choisira donc finalement les équations

(4) x^y-y’-h{p — i)y-yqxy-r=o.

Les axes étant supposés rectangulaires, l’équaiion (2) représente une parabole dont l’axe est celui des y et qui est rapportée à son sommet. On construira le patron de cette parabole (dont le paramètre est i) une fois pour toutes. L’équation (4) représente une circonférence de cercle dont le centre a pour coordonnées

OÉOMÉïniE ANALYTIQUE. sSl

Cl dont le rayon est égal à

Les points d’intersection de cette circonférence avec la parabole x’ = J, feront connaître (à l’échelle) les racines demandées.