Application aux équations du troisième degré

On prendra l’équation du troisième degré sous la forme x' + px + q = 0, et on ramènera ce cas au précédent en multipliant les deux membres de l’équation donnée par le facteur X. On aura ainsi l’équation du quatrième degré

X* -f- px^ -\-qx = O,

qui admet en plus des racines cherchées la racine x=o qu’on devra finalement rejeter.

Il suffira donc (249) de construire la parabole

et la circonférence

leurs points d’intersection, autres que l’origine, feront connaître les racines demandées.

La circonférence représentée par l’équation (a) passant par l’origine, il sera inutile de calculer son rayon. Les coordonnées

de son centre seront toujours — | et — ^ —

On voit qu'en coupant une même parabole par des circonférences convenablement déterminées, on peut résoudre graphiquement toutes les équations du troisième et du quatrième degré.

Exemple. — Si l’on demandait de trouver les solutions communes aux deux équations (246)

x’= 5/-I- 2, xy = -I- 8,

dont la première représente une parabole et* la seconde une hyperbole, on éliminerait y entre ces deux équations, cl l’on serait conduit à l’équation du troisième degré

a5a GÉOMÉTRIE AHALYTlyliE.

Il faudrait donc chercher les abscisses des points d’intersection de la parabole =y et de la circonférence

A’-t-jr’ — t8^ — ^ox = O,

dont le centre a pour coordonnées 20 et 9.