DES COURBES SEMBLABLES

252 La définition que nous avons donnée des polygones semblables et semblablement placés (Géom., 101 ; Compl. de Gcom., 65), peut s’appliquer aux courbes quelconques.

Soit une certaine courbe plane. Si l'on joint un môme point de son plan à tous ses points, et si l’on divise les rayons vecteurs obtenus dans un même rapport, l’ensemble des points ainsi construits constitue une nouvelle courbe semblable à la proposée et semblablement placée. Le point de départ des rayons vecteurs est le centre de similitiule des deux courbes, le rapport adopté est leur rapport de similitude.

Deux courbes étant semblables et semblablement placées (ou homothétiques), si l’on transporte l’une d’elles parallèlement à elle-môme, la similitude de forme et de position continuera toujours d’exister. Les rayons vecteurs ne seront plus confondus, mais ils resteront à la fois parallèles et proportionnels.

Deux courbes étant semblables et semblablement placées, si l’on transporte l'une d’elles d’une manière tout à fait quelconque, la similitude do forme continuera d’exister, la similitude de position disparaîtra. Les rayons vecteurs resteront proportionnels, mais ne seront plus parallèles.

Les courbes semblables à une courbe d’espèce donnée sont en nombre illimité.

«ÉOMKTIUE ANALYTIQUE. a53

25IJ. Avant d’aller plus loin, nous pouvons remarquer que lorscjnr rrijutition d'une rourùe, réduite à sa forme la /dus sim/jle, ne contient qiiun seul /laramètre, toutes les courl>es de même es/wee sont des couilws semblables. En effet, si la similitude de ces courbes exigeait une condition quelconque, leur paramètre se trouverait déterminé, et toutes les courbes de la même famille se réduiraient à une seule.

Les équations les plus simples de la circonférence, de la parabole, de la cissoïde, de la spirale d'Archimède, étant

x‘ + x'‘ = r\ y‘‘=ipx, p = ae>,

toutes les circonférences, toutes les paraboles, toutes les cissoïdes, toutes les spirales d’Archimède sont des courbes semblables.

254. fk)ient (fig. 121) les deux courbes AB et A'B', semblables et semblablement placées. Supposons que leur centre de similitude soit à l’origine des coordonnées. Désignons par /' leur rapport de similitude. Oti aura, d’après la figure, pour deux points homologues quelconques M et M',