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•r et J représentant les coordonnées d'un point quelconque de la courbe AB, /x et ky représenteront donc les coordonnées du point homologue de la courbe A'B'; et l’équation de la courbe AB étant

l’équation de la courbe A'B' sera

F(Xx, ky) = O.

On n’aura qu’à donner à k toutes les valeurs possibles, pour obtenir toutes les courbes homothétiques à la proposée.

Si l’on transporte la courbe A'B' parallèlement à elle-même, on pourra mesurer ce déplacement par celui qu’il faudrait attribuer aux axes pour ne pas changer l’équation de la courbe A'B'. En désignant par a et 6 les coordonnées de la nouvelle origine O' (fg. laij par rapport aux anciens axes, on aura

x=o-Fx', yz^b+y'-,

or, par rapport aux axes O'x' et O'y', l’équation de la courbe A'B' est, d’après l’hypothèse,

Donc, par rapport aux axes primitifs, l’équation de la courbe A'B' après son déplacement sera

Telle est l’équation générale des courbes semblables à la proposée et semblablement placées, lorsque le centre de similitude n’est pas au même point. ^

235. Si l’on transporte maintenant la courbe A'B' d’une manière quelconque dans le plan de la courbe AB, son mouvement se composera du

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354 GÉOMÉTHIE AJ\ ALYTIQUE.

mouvement do translation qu’on vient d’effectuer (254), et d’un mouvement de rotation autour de la nouvelle origine O'. Supposons (fg. laa) que les axes accompagnent la courbe dans son mouvement total. Désignons par 0 l’angle des axes primitifs, par a l’angle que forme actuellement O'x' avec une parallèle menée à Ox par le point O'. L’équation de la courbe rapportée aux axes O'x', O'j', dans leur nouvelle position, sera toujours, d’après l’hypothèse,

Fj/x-, kf) = O.

Les formules qui correspondent au passage d’axes obliques à d’autres axes obliques étant

x'sin(0 — a) -t- r'sinfO — S)

X = «H i 1 lJ,

sin0

. . x'sina -(-j'sin p

on aura ici, à cause de p = 0 + a.

X = fl

x'sin(0 — g) — j'sina sinO

x'sina +7'sin (0 -t-g) sin0

Pour avoir l’équation de la courbe A'B' par rapport aux axes primitifs, on devra donc remplacer x' etj' dans l’équation F(/!x', /•/') =o par les valeurs qu’on déduira des formules précédentes ; et l’on obtiendra ainsi l’équation la plus générale des courbes semblables à la courbe proposée.

256. Pour vérifier si deux courbes données par leurs équations sont semblables, il faut comparer l’équation la plus générale des courbes semblables à la première, avec l’équation do la seconde courbe. En cherchant à identifier les deux équations considérées, on déterminera d’une pari les valeurs des constantes arbitraires k, a, 6, a, propres à faire connaître la disposition relative des deux courbes, et d’autre part les conditions essentielles de l'identification, c’est-à-dire indépendantes de ces constantes arbitraires, exprimeront précisément les conditions de similitude des courbes proposées.

Le calcul se simplifie, lorsqu’on veut chercher si deux courbes déjà semblablement placées sont semblables (254).

Similitude des courbes du second degré.