I -t- ecos(--(- w) I — ecosw

qui est négative et égale en valeur absolue au rayon vecteur du point M. Pour construire le point — p), il faudra,

d’après notre convention, porter la longueur p = F'M sur la direction F'M opposée à la direction F'M' indiquée par l’angle t: + &) : on retombe ainsi sur le point M. Donc l’équation (4), qui donne déjà la branche de gauche par des rayons vecteurs positifs, reproduit la branche de droite par des rayons vecteurs négatifs ; elle représente donc à elle seule toute l’hyperbole, et la considération des rayons vecteurs négatifs rend l’équation ( 3 ) inutile.

264. Spirale d’Archimède. — Nous avons déjà trouvé pour l’équation de cette courbe (72)

P = rtci) ;

elle suppose qu’on a pris pour axe polaire la position initiale de la droite mobile et pour pôle la position initiale du point mobile (^g-. 124).

En faisant varier successivement w de o à 271, de 27: à 4t:,. . ., on obtient les spires successives OA', A,, A, A', A,,. . .; puis en faisant varier w de o à — 27:, de — 27: à — • • •> et admettant les rayons vecteurs négatifs, on trouve une autre série de spires B', Baiy, ,..., dont l’ensemble forme une

seconde partie de la courbe, symétrique de la première par rapport à la perpendiculaire jOy' menée par le pôle à l’axe polaire. Une droite quelconque issue du pôle rencontre les spires successives d’une même série, en une suite de points séparés les uns des autres par l’intervalle constant •xr.a qui représente l’accroissement du rayon vecteur à cbaque tour.

Si l’on se bornait aux valeurs positives de p et aux valeurs de cü comprises entre o et 277, l’équation p = aw ne donnerait que la'première spire OA', A,; pour les spires suivantes, il faudrait recourir aux équations

p = aw 4- 2770, p = rtW -1- 4îTrt. ■ • ■ •

De même, les spires de la partie symétrique exigeraient également des équations particulières et distinctes des précédentes.

L'extension donnée aux variations des coordonnées p et m permet de remplacer par une seule formule cette double suite indéfinie d’équations. Entre les deux manières d’opérer, le choix ne peut donc être douteux. D’ailleurs, au point de vue

2Ô0 GÉOMÉTUIK AftALYTlQUE.

logique, le premier mode est seul en harmonie avec l'esprii de généralisation qui caractérise l’algèbre, c’est-à-dire avec la nature de l’instrument que Descartes a si bien adapté à l’étude de la géométrie.

Passage des coordonnées rectilignes aux coordonnées polaires.

265. Nous avons déjà vu (28) que, lorsqu'on prenait pour pôle l’origine des coordonnées rectilignes rectangulaires et pour axe polaire la partie positive de l’axe des x, les formules à employer pour passer du système rectiligne au système polaire étaient

x = pcoscü, j = psinw.

L’équation gulaires par

d’une courbe représentée

en coordonnées reclan-

sera donc en coordonnées polaires

F(pcos6j, psinw) = o.

266. /Application A la ligne droite. — L’équation générale de la ligne droite

Aj-h B.r = C

devient ainsi (38)

- = Asino) -I- Bcosu.

Si C est nul, la droite passe par l’origine, c’est-à-dire par le

pôle, et l’équation se réduit à

Asinw -H Bcosm= O ou w = arctang

= constante. —

Dans tout autre cas, on peut diviser par C et poser ^ — P,

— = Q. 11 est donc permis d’énoncer cette proposition : T ouïe

droite est représentée en coordonnées polaires par l'équation

ri/

ou par l'équation

- = Psinw Qcosw,

suivant qu’elle passe ou non par le pôle.

Si l’on fait successivement dans ré(|ualion d’une droite qui

OÈOMI^.TIUE ANALYTIQUE. I

ne passe pas par le pôle, m = o cl u = -> on trouve

Les inverses des coeflicienls Q et P étant les valeurs de p pour w = o et représentent précisément, en gran-

deur et en signe, les segments que la droite intercepte à partir du pôle sur l’axe polaire xOx' et sur la perpendiculaire /Oj' élevée à cet axe par le pôle. De là un moyen simple de construire, sans ambiguïté, une droite donnée par une équation numérique. Soit, par exemple, la droite

I sinw

cosw

On aura -t- 3 pour le segment OA sur l’axe xOx' [fig. laS) et — 2 pour le segment OB sur ^0/'. On construira donc OA et OB à l’échelle du dessin, cl, en joignant les points A et B, on obtiendra la droite cherchée.

2G7. À pplication à la circonférence de cercle, — En désignant par rf et « les coordonnées polaires du centre et par r le rayon, nous avons déjà trouvé pour équation polaire de la circonférence (54)

p’ — 2<fpcos(&) — «) -+- = r*.

Elle résulterait immédiatement de l’équation en coordonnées rectangulaires

{x — py-h{y — q)‘‘= r\

en remplaçant /> et ç par leurs valeurs dcosx et r/sina, x et y par leurs valeurs pcosw et psinw.

Cette équation polaire se réduit à p = r lorsque le centre est au pôle, et à

p = 2</cos(6) — a)

lorsque la circonférence passe par le pôle : ces deux dernières équations sont d’un usage très-fréquent.

Pour présenter une application de la seconde, cherchons la condition pour que trois points (pi , Wi ), (p?, on), (pj, wj), soient sur une même circonférence passant par l’origine.

Il suffit d’éliminer d et « entre les trois équations de condition

p, = 2r/C0s('.», — «), p,= 2(/C0S(Wj — a), Pi= 2r/c0s((»: — «)•

2()2 GKOMÉïllIE ANALYTIQUE.

Or si on les ajoute après les avoir multipliées respectivement parsin(6i, — Wj), sin(ojj — e», ), sin(&j, — 6>i), on obtient

p,sin(&)î — p,sin(cü, — w,) -|- pjsin(&), — m,)

= 2(/cosa[cosw, sin(w, — mj) -t- cosMiSin(wj — w.)

cosw3sin(wi — w,)]

+ 2(/sina[sinw, sin(o)3 — coj) + sinw,sin(w, — oi,)

“1“ sin&)3 sin (û>i — ws)].

Kt comme les deux parenthèses du second membre de l’équation résultante sont identiquement milles, on a simplement pour la condition cherchée

p, sin(&), — w3)-l-p3Sin{&)3 — w,)-i- psSin(Mi — w,) = o.

Équations polaires des sections coniques.

268. Pour opérer d’une manière uniforme, on prend pour polo un foyer et pour axe polaire la droite qui va de ce foyer au sommet voisin. Nous avons déjà vu que, dans un tel système de coordonnées, Y hyperbole était représentée par l’équation (203)

I I -t- ecos&>

Considérons maintenant la parabole. F étant le pôle et FAX l’axe polaire (Jig. >26), on a

P = — -t-ar

pour la valeur du rayon vecteur F’M (202). Si l’on projette sur FAX les deux chemins AM et AFM, il vient

x= — -i-pcos(7: — 0)) = ^ — pcosw.

Éliminant x entre les deux relations posées, on trouve 1 I -f- C0S6)

pour l’équation polaire de la parabole.

Supposons enfin Yellipse rapportée à son foyer de droite F comme pôle ctà la droite FAar comme axe polaire {Jig. 127). Le rayon vecteur FM aura pour expression (136)

ex

(;toiwi!;TRiE analytique. a63

En projeliinl les deux chemins ÜM el OEM sur l’axe polaiie, il vienl

X = C — pCOS(7T — w) = C + pCÜSM.

En éliminant x entre les deux relations obtenues, il vient