Pour que deux courbes
aient en commun deux points M et M' dont les coordonnées angulaires sont aet«-t-/i, il faut et il suffit qu’on ait les deux relations
/fa)=9(«), f{cc-h h)~tf{x-yh), qu’on peut encore écrire
Si l’on fait décroître h jusqu’à zéro, on obtient à la limite les conditions {Compl. d’Jlg., IIV),
pour exprimer que les deux courbes considérées sont tangentes au point M.
272. D’après cela, les valeurs de P et de Q (jui rendent une droite (266)
- z= P sin w Q cos m,
(aiigcnio à la courbe.
= /’(f.i)au point M dont la coordonnée
GÉOMÉTIUE AiNALYTiyUE. a65
angulaire est x, sont données par les deux équations
f(a) = P sin a -t- Q cos a, f'{x) = P cos x — Q sin x.
On en déduit, en opérant par voie de réduction,
(A) P = f{x) sin a -f-/' (a) cos x, Q = f[x) cos x — /' («) sin x. On a donc pour l’équation de la tangente
-=/(a)[coswcos« + sinriisina:]4-/'(a)[sin wcosa — coso>sin«],
(B) - =/(«) cos (u — x) +f'(x) sin (w — a).
273. Dans la pratique, on construira cette droite au moyen de scs segments sur O^ et sur Oj (266). On pourra ainsi, dans la discussion d’une courbe, tracer A priori et sans ambiguïté la tangente en tel point qu’on voudra. Les valeurs (A) de P et de Q sont d’ailleurs les expressions générales des inverses de ces
segments : ^ est le segment sur 0/ et ^ le segment sur Ox. Exemple. — Soit la parabole (268)
- = - (l -1- cos to).
Le foyer F est pris pour pôle et la droit FAx pour axe polaire [Jig. 19.8)
L’équation de la tangente au point M dont la coordonnée angulaire est X est
=/(a)cos(w —
x) -)-/'(«) sin (w
On a ici
cos«) et
/'(«) = — -sin «.
En substituant et en simplifiant, il viendra donc pour l’équation de la tangente
= - [cos (o) — x) -h cos 0)].
On a, en substituant les \aleurs de /(a) et de /'(«) dans l’ex-
u66 GÉOMÉTRIE A^ALYTIQGE.
liression de 0,
y = - (i -t- cos a).
Par suite, l’inverse du segment déterminé par la tangente MT sur l’axe FAx sera
FT
I + cos a) =
Ce segment FT sera donc égal au rayon vecteur FM, et l’on retrouve ainsi simplement la construction connue de la tangente (210).
274. ^ux points maximums et minimums, la tangente doit être parallèle à l’axe polaire. Le segment intercepté sur cet axe doit donc être infini, et, par suite, son inverse Q doit être nul. Donc, en vertu des relations (A), les points maximums ou minimums ont pour coordonnées angulaires les racines de l’équation
(C) /(a) cos a — /'(a)sina=o.
En égalant à zéro la valeur de P, on trouve de même l’équation
(D) /(a) sin a -!-/'(«) cos a = O,
pour déterminer les points où la tangente est perpendiculaire .à l’axe polaire.
275. L’inclinaison 9 de la tangente sur l’axe polaire est évidemment donnée par la relation (266)
tang 9 = —
Q f'{ix) sin a — /(ot) cos «
P ~ f'(a.) cos a. +/(a)sin a’
c’est-à-dire, en divisant les deux termes par/' (a) cos a.
Si l’on pose on aura
lang 9
tang 9 =
tanga /■(«) '
= tangfx.
tang a -f- lang p.
I — lang a tang /x
tang (a 4- p.).
GÉOMÉTRIE A>ALMTQl)E.
OU
D’où l’on voit, en considérant le triangle OM’r(/g'. 129), que l’angle fx est égal à l’angle OMT ou à son opposé SMV. Donc l’angle fx que la partie de la tangente qui correspond au sens positif de la coordonnée angulaire oi fait avec le prolongement du ray on vecteur, est donné par la formule
lang fA =
qu’on peut encore écrire {Compl. d’Alg., 122)
On peut d’ailleurs démontrer géométriquement comme il suit cette formule importante {fig. i3o). CMC' étant une courbe rapportée au pôle O et à l’axe polaire Ox, soient M(p, m) le point où l’on veut mener la tangente SMÏ etM'{p4-Ap,M + Aw) un point voisin. Décrivons du point O comme centre l’arc de cercle MMj. Dans le triangle rectiligne MM,M', nous aurons :
sinMiM'M M,M M,MxarcM,M M,M ^^pAw sin M. MM' ~ M.M' ~ M,M'XarcM,M ~ arcM.M ^
A la limite, lorsque le point M' vient se confondre avec le point M, l’angle M,M'M tend vers OMT = pi et sin M.M'M vers sinpt; l’angle M'M,M tendant vers un angle droit, l’angle M,MM' tend vers ^ — g, et sin M,MM' vers cos pt. Le premier membre de l’égalité* précédente tend donc vers tang u ; le premier facteur du second membre tend d'ailleurs vers i. On aura donc à la limite
tang p. =
lim
Au
276, Dans le système des coordonnées polaires, la soustangente (que nous désignerons par S,) est la perpendiculaire OT menée par le pôle au rayon vecteur OM et terminée à la tangente MT. La sous-normale (que nous désignerons par S,) est la partie ON de cotte même perpendiculaire com-
prise entre le pôle O et la normale MN [Jig. i3o). On a évidem ment
S, = OT — P tang u = ^ i
S„ = ON = — ^ = p'.
tang pt
277. Enfin, les tangentes au pôle s’obtiennent d’une manière très-simple ? elles répondent évidemment aux valeurs de « pour lesquelles p s’annule.
278. Voici quelques applications des formules (E), (F), (G). 1° Dans la spirale d’ Archimède p= rtw, on a
la sous-normale y est donc constante. De là un moyen trèssimple de construire la tangente. On décrit un cercle du pôle comme centre avec a pour rayon (fig. i3i), et l’on mène par le point M, où l’on veut avoir la tangente, une perpendiculaire MT à la droite MP qui joint le point M à l’extrémité P du rayon OP = a, perpendiculaire au rayon vecteur OM. Au pôle, la spirale est d’ailleurs tangente à l’axe polaire (277).
a® Cherchons la courbe dont la tangente fait un angle constant avec le rayon vecteur du point de contact.
La relation (E)
tang p = = const.
peut s’écrire
C’est la traduction analytique de la condition imposée. On en déduit (Compl. d’Alg., 125, 129),
l.p = mw, d’où p = e"’"'
Le rayon vecteur p, égal à i pour pi = o, croît de i à oo lorsque M varie de o à -|- op • La courbe fait donc {Jig. i3a), à partir du point A pour lequel on a OA = i, une infinité de circonvolutions de plus en plus grandes. Lorsque &> varie de o à — co , p varie de I à O : donc, à partir du point A, la courbe continue à tourner autour du pôle (dans un sens contraire) en s’en rapprochant indéfiniment (*).
Cette ligne, qu’on nomme spirale logarithmique ,\o\i\\, encore de la propriété suivante t l’extrémité N de la sous-normale décrit une spirale égale à la première, mais différemment placée.
{*) Le |irtle^cst, dans vo cas, un point n.\}
GÉOMÉTRIE ANALVTUjOE. s6y
Eli effet, la formule (O) donne pour le rayon vecteur du point N (Compl. d’Àlg., 124, 129),
p, = ON=p'=me'""-
D’ailleurs, la coordonnée angulaire du même point est
L’équation du lieu des points N sera donc
p, =z= me
ou, plus simplement, en enlevant les indices,
Pour ramener cette équation à la forme
il suflit donc de poser
TT
c’est-à-dire de prendre un nouvel axe polaire incliné sur le premier d’un angle égal à ^
On démontre aisément que l’extrémité de la sous-tangente décrit aussi une spirale égale à la première.
3“ Considérons enfin la courbe décrite par un point M d’un cercle mobile O' qui roule sans glisser sur un cercle fixe O de même rayon (fig. i33).
Prenons pour pôle le point A où se trouvait le point générateur M, lorsque ce point était le point de contact des deux cercles O et O', et adoptons OAx pour axe polaire. Quand le cercle 0' a roulé de l’arc CA, le point M occupe une position telle, qu’on ait arcCM = arcCA. Le triangle ACM est donc un triangle isocèle dont la médiane CI est la tangente commune aux (leux cercles au point C. Ainsi la droite AI est parallèle à OC et, de plus, égale à la moitié du rayon vecteur AM. Donc, en projetant le contour OAI sur OC et en désignant par R le rayon commun des deux cercles, on aura
R = R cos&j -i- -1
d’oii
liÈOMÉTUIE ANALYTIQUE.
P=2K(i — co.sci)).
Celte courbe, langcnle à l’axe polaire au pôle A (277), s’idève au-dessus de cet axe qu’elle vient ensuite couper en A' à une distance AA'= 4^^» se termine par un arc A'1)'A symétrique du premier ADA'. La formule (E) donne
. TAfl- 2U(l — cos^.i) , I
tangu = tanglMV = Hr— = lang - &>,
2Rsin&> 2
c’est-à-dire
tangTMV = langM(>I = cotCMl.
Les deux droites MC et MT sont donc perpendiculaires; et par suite, la droite MC, qui joint le point M au point de contact C des deux cercles, est la normale à la courbe décrite, au point M.
Cette propriété de la courbe considérée qu’on nomme épicycloide (71), n’est qu’un cas particulier de ce beau théorème général dû à Descartes ; Lorsqu’une courbe roule sans glisser sur une autre courbe supposée fixe, un point quelconque lié à la première décrit une troisième courbe dont la normale, en un point quelconque, s'obtient en joignant ce point nu point de contact correspondant des deux courbes primitives.
La démonstration de Descartes est d’ailleurs très-simple. Remplaçons les deux courbes par deux polygones ayant leurs côtés respectivement égaux. L’un de ces polygones restant fixe, tandis que le second se meut de manière à appliquer successivement chacun de ses côtés sur le côté égal du premier, un point quelconque M lié au polygone mobile décrira une série d’arcs de cercle dont les centres seront les divers sommets du polygone fixe; donc, dans une position quelconque du point M, la normale à l’arc qu’il décrit passera par le sommet qui est actuellement commun aux deux polygones. Cela posé, il suffit de faire croître indéfiniment le nombre des côtés des polygones cl de passer à la limite, pour avoir la proposition énoncée.
Des asymptotes.
