Pour que la courbe

ail une branche infinie, il faut que /(f<>) s’annule pour une certaine valeur de ^.i; en d’autres termes, il faut que l’éiiua-

GÉOMÉTRIE A^ALYTlgl; E. . 2Jl

lion

ait une ou plusieurs racines réelles.

Plaçons-nous dans celte hypothèse, et soit a une racine réelle de l'équation précédente. L’équation générale de la tangente (272)

(B) ^ =/(«) cos(w — a) +f'{x) sin (m — a)

se réduit (en vertu de la condition f{x) = o et en supposant f (x) different de zéro) à

(H) !=/'(«) sin (o)-«).

La tangente a donc pour limite une droite déterminée; celle droite, qui est représentée par l’équation (II), a reçu le nom d’asymptote. On la construira à l’aide de ses segments sur Ox et sur 0/ (26G), ou bien au moyen de l’un d’eux et de la direction connue x de l’asymptote. Le principal avantage de l’emploi de l’équation (H) consiste en ce que, dans la discussion d’une courbe, on peut tracer à priori et sans ambiguïté les asymptotes.

Les expressions générales des inverses des segments sur Ox et sur 0^ (272), qui deviennent, d’après l’hypothèse /(«) = «,

— /'(a)sina et /'{a)cosa,

montrent que lorsque /'(a) s’annule en même temps que f(x), ces deux segments deviennent infinis; il n’y a plus de limite déterminée pour la tangente. On dit alors que l’asymptote se transporte à l’infini. A proprement parler, il n’y a plus d’asymptote, mais seulement une direction asymptotique.