PP PP

L’angle a étant compris entre o et tt, on a

D’ailleurs

Le segment intercepté sur F' A' a* (Jig. i34) par l’une ou l’autre asymptote est donc (on pourrait répéter le même calcul pour la seconde asymptote)

— /'(a) sin a esin’a c l>'

résultat qui est d’accord avec les propriétés connues de l’hyperbole.

On prendra donc sur F'A'a: une longueur F'0 = c, et en menant deux droites POP', QOQ', respectivement parallèles aux directions F'G, F'(V, indiquées par les angles a et 27i — a, on aura les asymptotes.

(Æla fait, la discussion de la courbe est très-facile. Le rayon

vecteur p, d’abord égal à = c — a pour mz=o, croit et

devient infini pour &) = «; de là une première portion A'B' de la courbe, partant du point A' obtenu en prenant OA' = fl et se dirigeant vers l’asymptote OP'. Pour w plus grand que a. P est négatif et décroît en valeur absolue jusqu’à la valeur P

~ = G 4- a qu’il atteint pour &) = ::: on obtient ainsi une

autre branche, qui part de l’infini suivant la direction PO et arrive au point A obtenu en prenant OA = a. Enfin, de tt à 27T — «, on obtient la branche AC par des rayons négatifs; et de 2 TT — «à 27T, on trouve, par des rayons vecteurs positifs, la branche C'A' qui vient rejoindre la première A'B'.

281. Dans la pratique, on évite souvent de longs calculs au moyen de la remarque suivante :

Lorsqu’une fonction /(w) est le produit de deux facteurs ij> (cü), 9 (w), dont l’un tp (w) s’annule seul pour a = ce, il suffit pour avoir f {«) de prendre la dérivée du facteur ç (w), et de remplacer m par « dans V expression i}; (w) ^'(w).

En effet, l’équation

donne, par dérivation (Compl. d’Jlg.},

d’où, en observant que <p {«)= o, ^

Supposons qu’on veuille déterminer l’asymptote da folium de Descartes [USii,), dont l’équation en coordonnées polaires est

I sin’w4- cos’w I

P ~ 'Ssinaicosa) ~ Ssinoicosoi ^ ('•') ? (")•

L’asymptote répond à la valeur de w qui satisfait à l’équation sin*w-h cos’o) = O ou tang’w = — i; cette valeur est

Stt

On voit que 9 (u) est nulle pour cette valeur particulière. On aura

9'(w) = 3sinwcosw(sinw — cosu),

4'(m)9'(m] = sinw — cosu