III

f/équalion de l’asymptole est donc

i =/'(a) sin(w — «)= sin et le segment qu’elle intercepte sur Oar est

— y'(«)sin« . /3:t\

Ce résultat s’accorde avec celui déjà trouvé (102).

Discussion d’une courbe.

282. Proposons-nous de chercher la forme de la courbe représentée par l'équation

, , I n + 6cost>'

' ' P <7osinu

où G cl é sont des nombres positifs (^. i35, i36, 137).

D’une manière générale, une courbe est symétrique par rapport à l’axe polaire, lorsque son équation n’est pas modifiée par le changement de u en w, ou bien par le changement de p en — p et de w en rr — w.

Une courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire menée par le pôle à l’axe polaire, lorsque son équation n’est pas modifiée par le changement de <•> en ir — ou bien par le changement de p en — p et de «a en air — ta.

Si l’on change d’axe polaire, et si le nouvel axe polaire fait l’angle a avec l’ancien, on aura pour nouvelle coordonnée angulaire

Il faudra donc remplacer o> par a-i-6. Si le nouvel axe polaire est un axe de symétrie, l’équation ne sera pas modifiée par le changement de 9 en — 9 ou de p en — p et de 0 en ir — 9. En écrivant les conditions nécessaires pour qu’il en soit ainsi, on trouvera les valeurs de a qui correspondent aux axes de symétrie de la courbe (si ces axes existent).

Ceci posé, revenons à l’équation (i). Il suffit d’y faire varier u de o à air, puisque l’angle o> ne figure que par ses fonctions circulaires (c’est là une remarque générale). La courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire/Ojr' à l’axe polaire, puisque p se change en — p lorsque» devient air — » ; elle passe par le ^le en touchant l’axe polaire, puisqu’on a p = O pour » = O. La courbe passe en outre par le point B situé sur 07^ aune distance OB du pôle égale à é. Les deux tangentes en ce point (qui est double à cause de la symétrie) interceptent sur l’axe polaire des

segments OA et OA’ égaux à a. La formule (A) donne en effet (272), en représentant par/(w) le second membre de l’équation (i),

OA

/'(x)sina

OA’=-

/’(a)sin«

(En faisant successivement «=- et w=— 'dans l'équation (i), on ' a a

trouve

P = h et P = — h,

ce qui ramène bien au même point B.)

On décrira donc un cercle du pèle comme centre avec a pour rayon, et on obtiendra les tangentes au point B on joignant ce point aux extrémités A et A' du diamètre AA' (^g. i35, i36, 137).

Pour que la courbe représentée par l’équation (i) admette des branches infinies, il faut et il suffit (279) qu’on puisse satisfaire, par des valeurs réelles de w, à l’équation

(a) n4-icos(» = o:

CO qui exige que a ne surpasse pas b. On est ainsi conduit à distinguer les trois cas suivants : a b, a <ib, a=z b.

Premier cas. a

La courbe est alors fermée [fig. i35), et le tableau ci-dessous

TT

p — b, 1 P est positif dans cet intervalle,