W = TT
p = — b, ' P est négatif dans cet intervalle.
montre que la courbe part du pôle suivant la direction Ox, s’élève jusqu’à une certaine limite, revient au pôle en touchant do nouveau en ce point l’axe polaire; puis, dans une seconde révolution, décrit un second ovale OFBO, symétrique du premier OBEO par rapporta O/, et situé tout entier comme lui au-dessus de l’axo polaire. Pour compléter ces notions, il suffit de chercher le maximum du rayon vecteur. En mettant l’équation (i) sous la forme
a ( sin’ - U -1- cos’ - w ) -1- ô ( cos’ i w — sin’ - o) )
grfô.sin i wcos-m 1 a
c’est-à-dire
^ (fl'-|-i)COtiep)-|-(n — 6)tang^oi
P lab ’
on voit que ce maximum p, correspond au minimum du numérateur du second membre, c’est-à-dire a lieu pour
(/j-l-6) cot- w = (fl — fc)tang-w ou cosw= — -•
2 ' 2 fl
En effet, ce numérateur est une somme de deux parties dont le produit est constant {jilg- élém., 223). En désignant par a et 2ir — a les deux angles
compris entre o et ait qui satisfont à la relation cosw = — -j on trouve ( puisque le produit constant est — A’)
ah h
~ yjtâ— b' ~
Le cercle de rayon p, contient donc la courbe. D’apres cela, menons par le point A' la tangente A'I au cercle décrit du pôle comme centre avec OB= b pour rayon; prolongeons A'I jusqu’à sa rencontre C avec 0/; OC sera le rayon maximum p, , et en continuant le rayon 01 Jusqu’à sa rencontre E avec le cercle OC, nous aurons le point où ce cercle limite touche l’ovale OBEO. Même construction pour l’autre ovale. En effet, on a d’abord
cosIOA = — cosIOA'= —
d’où
IOA= a;
puis
coslOC
Deuxième cas. a < A.
L’équation (2) est alors satisfaite par deux valeurs a et 2jr — a de &>. La courbe a donc deux asymptotes. En profitant de la remarque du n“ 281 , on trouve immédiatement leurs équations (279)
1 sin(g — m) i sin(a-f-w)
p n ’ p fl
La première intercepte sur Oj et sur Ox {^g. i36) les segments
/'(a)cosa — /'(a)sina’
c’est-à-dire (en vertu de la relation n-|-Acosa = o)
— l = b = OB et Ji- = OT;
CCS a sin«
elle passe donc jiar le point B (qui est alors extérieur au cercle OA).
GKOMÉTRIE A^ALYTIQDE.
D'ailleurs elle fait avec O7 un angle dont le sinus est égat à
OT a +- OT= ~
Donc celte asymptote n'est autre chose que la tangente BI' menée par lepoint B au cercle OA; la deuxième asymptote est la Umgente symétrique BI.
En résumé, w variant de o à a, la courbe part du pôle suivant la direction O.E, s’élève rapidement, passe en B où elle est tangente à BA, puis reste située dans l’angle opposé à ABI' justju’à ce qu’elle rejoigne à l’infini son asymptote BE'. De a à -tt, on obtient par des rayons vecteurs négatifs la branche EO qui, de ir à — a, se continue de ü en F par des rayons vecteurs positifs. Enfin de ïtt — a à att, des rayons négatifs donnent la branche E'BO. (On voit que chacune des branches OBE', OBF' présentera au delà du point B un point d’inflexion.)
Troisième cas. n= b.
Le point B est alors situé sur le cercle OA. L’équation de la courbe se réduit à
- = - col — û>.
P rt 2
L’axe polaire est parallèle à la direction des branches infinies ef il y a une asymptote unique donnée par l’équation (279)
1 sinu
c’est la parallèle à l’axe polaire menée par le point C situé sur Oj à une distance OC = ia.
Dew=oàw = 7T, on obtient par des rayons positifs la branche OBF tangente en B à la droite BA; puis de tt à aw, on trouve par des rayons négatifs la branche EBO.
283. La courbe que nous venons de discuter représente la projection horizontale de la ligne d’ombre de la surface de la vis à filet triangulaire. Elle se prête à une définition géométrique très-simple.
Du point B i38), menons une sécante quelconque qui rencontre en N le cercle OA; joignons ON, puis menons à angle droit sur ON la droite OMI qui rencontre en M la sécante, cl en I la parallèle BI à ON. Les triangles semblables BMI, NOM, donnent
MO MI P ôsinw— P
ÜN“Br ~ bws-^ '
I a -(- AcoS'>>
P «ésino»
Ainsi la courbe considérée est le lieu géométrique des points Mque l’on obtient en menant par un point fixe B des droites qui coupent un cercle fixe O, et en élevant chaque fois une perpendiculaire OM sur le rayon ON qui va au point de section, jusqu’à la renconire do la sécante correspondante.
2^8 GÉOMÉTHIE A^ALYTIQIjE.
Comme chaque sécante coupe le cercle eu deux points, il y a deux points de la courbe sur chaque sécante. Le milieu de la longueur comprise entre ces deux points est toujours sur le cercle décrit sur OB comme diamètre. Le lecteur pourra vérifier facilement cette dernière propriété et retrouver par une discussion géométrique les diverses formes de courbes que nous avons déduites de l’équation (i).
Application des coordonnées polaires à la démonstration de quelques théorèmes.
284. L’emploi du système polaire permet de démontrer avec rapidité et élégance un grand nombre de théorèmes, qu’on ne trouverait que très-péniblement à l’aide du système rectiligne. Nous en donnerons quelques exemples.
1° L’équation de la tangente à la parabole au point M [Jig. iSq) dont la coordonnée angulaire est MFx = 2a, est (273)
I COS(w — 2«)-f-C0SW
La tangente en un second point N dont la coordonnée angu-
laire NF:r = ap, ayant pour équation
coupe la première tangente en un point T, dont la coordonnée
angulaire TF a: est donnée par la relation
cos (m 2«) = cos (w 3 j3).
Des deux solutions
w — aa = cü — 3(5,
la première doit être rejetée puisqu’elle conduit à a=(3; la seconde, seule admissible, se réduit à
oj = a -1- (3 ou
TFx=-(MFa;-+-NF3r):
elle démontre donc ce théorème : Dans toute parabole, la droite qui joint le foyer à l’intersection de deux tangentes, divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs des deux points de contact.
CÉOllÉTHIE ANALYTIQUE. 3^9
3" Il résulte de là que si l’on considère trois tangentes T, , T,, Tj, à la parabole
I cos{&) — 2ai)-f-cosw
I COS(w 2«,)-+-C0SW
I C0s(w — 2«j)-|-C0SW
et que l’on désigne respectivement par (p, , w,), (p,, &>j), (p,, wj) les points d’intersection M,, M>, M,, de T, et de ï,, de T, et de 'fi, de T, et de T,, on aura
Wj = «I 4- a,.
Par suite, en portant dans les équations précédentes les valeurs qui y satisfont et en rapprochant les expressions obtenues, on pourra écrire
2C0Sa, cos«j COS«3 cosa, cosa, cosaj
cosa, sin(a, — a,) 4- cosa,sin(aj — a,) 4- cosa, sin(a, — a>)
“ p, sin (ai — ai) 4- Pi sin (a, — a,) 4- p, sin (a, — ai)
Le numérateur de ce dernier rapport étant identiquement nul, il faut que son dénominateur le soit aussi, afin que ce rapport, quia une valeur nécessairement différente de zéro, se présente
sous la forme -■ Or la relation
p, sin (ai — a, ) 4- Pi sin (a, — a,) 4- p, sin (a, — a, )
exprime précisément (267) que les trois points M,, M, , Mi, et le pôle F sont sur une même circonférence. On parvient donc à ce théorème :
Le cercle circonscrit au triangle déterminé par les points d’intersection mutuels de trois tangentes à la parabole, passe par le foyer.
Ce théorème permet de déterminer immédiatement les éléments d’une parabole dont on donne quatre tangentes.
3" Quand on veut étudier les relations qui existent entre les longueurs de deux diamètres conjugués et leur angle, dans l’ellipse ou dans l’hyperbole, c’est au système polaire qu’il
a8o GÉOMÉTRIE AMALYTIQOE.
faut recourir. Pour reconnaître la vérité de cette assertion, il suffit de considérer les formules (270, 275)
I cos^w I sin’6>
langfA=:^-
La première donne en effet les longueurs de ces diamètres, et la seconde donne leur angle puisque la tangente à l’extrémité d’un diamètre est parallèle à son conjugué.
Par conséquent, si, après avoir calculé p', on élimine entre les deux relations précédentes l’angle co qui distingue un diamètre de son conjugué, on obtiendra une équation qui renfermera nécessairement toutes les relations qui lient les longueurs de deux diamètres conjugués et leur inclinaison mutuelle.
Bornons-nous au cas de l’ellipse. Le calcul se fait très-simplement lorsqu’on écrit l’équation (i) sous l’une des deux formes suivantes
et lorsqu’on remplace l’équation (2) par celle-ci
sin’fA
Le carré de la dérivée de l’une des deux équations (3) est, en vertu de ces mêmes équations.
ou
On a donc enfin, d’après la relation (4),
p' — (a’ -I- fr’) p’H = O.
sin’pt
Les racines de cette équation correspondent aux diamètres conjugués qui font entre eux l’angle pt. En désignant par a” et
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. a8l
6'’ les carrés des demi-longueurs de ces diamètres conjugués, on aura donc
<i'j -I- 6’ et a' b' — :
sin fA
ce sont les deux théorèmes d' Apollonius (157).
La correspondance du maximum de fi à l’égalité des diamètres conjugués devient intuitive d’après l’équation (K), qui fournit en même temps la limite de p. (*}.
QUESTIONS PROPOSEES
I. Construire les courbes représentées par les équations suivantes ;
4/’— I2X/4- 1 ix’-l- 4/ — fl = O (ellipse)
( on fera successivement n= — 4, fl=io, a = 3);
25/’ — lox/ — 4J^’-l-20j + 2G.r-t-«=i: O (hypecbolc)
( on fera successivement fl= — 33,a= — 4g, «=— 40î
(gr’ — — &y + ax + b = o (parabole)
( on fera successivement a = — 5 et, b =i5, fl = g et 6= — i3, a = 2 et b= — 6, *fl = 2 et 6 = 8, a = -i et b = i).
II. Construire les courbes représentées par les équations suivantes (hyperbole) :
— 2/+ 3x — I = O, 5x/— iox’-|- 3/ — x+ 3 = o, 2J/-I-5/ — x-|-2 = o, 3x/ — /-|-3x — 1 = 0,
X/+2/ — 1 = 0, 3.cr-|-2/=o, 8x/+i = o, 2.r>' = o.
(*) Cette démonstration ingénieuse a déjà été publiée par M. Ëug. Ronché dans les Nouvelles Annales (t. X.V1I, p. 436). Elle recti&e une erreur didactique échappée à un penseur très-distingué de notre époque. « Le point de vue moderne, dit Auguste Comte dans son remarquable Traité de Géométrie analxtitfuet conduirait très-naturellement au premier théorème d'Apollonius s'il était encore ignoré. Mais quant au second, il faut avouer avec franchise que la marche moderne n'y conduirait pas spontanément; en sorte que la démonstration analytique doit ici consister en une pure vérification. « L’erreur provient de la considération exclusive du système rectiligne. De même qu’en Géométrie descriptive on emploie simultanément plusieurs plans verticaux destinés à montrer sous toutes ses faces le corps que l’on étudie, de même en Géométrie analytique on doit varier les systèmes de coordonnées; et le plus heureux ou le plus habile est ■ celui qui, dans chaque cas, sait choisir le système le plus en harmonie avec la nature de la recherche qu’il poursuit.
a8a GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
III. Conglruire les courbes représentées par lus équations suivantes (parabole) :
— 7^4- 5x — 1 = 0, ^x' — Sj' — 4x-)-i = o, x’ — 5/-|-ax4-4= o,
Sx’+gj+Sx — 2 = 0, ii7'*4-3/— 2x — 5=0, 9/’4-2/-t-4x— i = o.
IV. Ramener les équations suivantes à leur forme la plus simple par la transformation des coordonnées :
r’ — 4xj4-5x’-)-2x — ax— 1 = 0, gxj^-f-x’ — 7+ ax — 5 = O, ^y^-^xx+a^+y-irZx—\ = o,
V. Chercher les relations qui doivent exister entre les coefficients do l’équation générale du second degré à deux variables, pour qu’elle représente l’une quelconque des variétés indiquées dans le Chapitre 1”.
VI. Chercher les conditions nécessaires pour que l’équation générale du second degré représente une hyperbole équilatère.
Vn. La tangente en un point donné de l’ellipse et la perpendiculaire élevée par l’un des foyers sur le rayon vecteur du point de contact, concourent sur la directrice correspondante (le mémo théorème est vrai pour l’hyperbole et la parabole).
Vin. Dans une courbe du second degré, on mène une corjjo qui coupe l’une des directrices en un certain point ; si l’on joint ce point au foyer cerrespondant, la droite obtenue est la bissectrice de l’angle formé par l’un des rayons vecteurs des extrémités de la corde et le prolongement de l’autre.
IX. Construire une ellipse connaissant un foyer et trois points de la courbe (même problème pour l’hyperbole et la parabole ; pour la parabole, deux points suffisent).
X. Démontrer que dans les trois courbes les tangentes issues d’un même point sont également inclinées sur les rayons vecteurs de ce point, et que chacun d’eux est la bissectrice de l’angle formé par les rayons vecteurs des deux points de contact qui aboutissent au môme foyer. (Dans le cas de la parabole, l’un des foyers se transporte à l’infini).
XI. Dans l’ellipse et dans l’hyperbole, deux diamètres conjugués interceptent sur une tangente et à partir du point de contact, deux segments dont le produit constant est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.
XII. Trouver le lieu du sommet d’un triangle invariable qui se meut dans son plan de manière que les extrémités de sa base décrivent deux axes rectangulaires donnés.
XIII. Circonscrire à une ellipse donnée un rectangle équivalent à un carré donné (maximum cl minimum d’un pareil rectangle).
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. t83
XIV. Deux cercles étant donnés dans un plan, on mène au premier une tangente qui coupe le second cercle en deux points par lesquels on lui mène des tangentes : trouver le lieu des points d’intersection de ces tangentes.
XV. On donne un cercle et une droite situés dans un plan. De chaque „ point du cercle on mène une perpendiculaire sur la droite, et l’on prend chaque fois le milieu M de cette perpendiculaire : trouver le lieu des 1 points M et discuter l’équation obtenue ( Concours d’admission à l’École Centrale, 1861).
XVI. On considère dans un cercle donné un système de cordes parallèles, et l’on demande le lieu des points qui divisent ces cordes en moyenne et extrême raison {Concours d’admission à l’Ecole Centrale, 1861).
XVII. Si par un point d’une hyperbole on mène une parallèle à l’uno des asymptotes jusqu’à la rencontre de l’une des directrices, cette parallèle est égale au rayon vecteur du point considéré par rapport au foyer correspondant.
XVin. Construire une hyperbole connaissant un foyer ou une directrice, une asymptote et un point.
XIX. Trouver le lieu des centres des cercles par rapport auxquels deux circonférences données sont à la fois tangentes extérieurement ou intérieurement.
XX. On donne dans une circonférence déterminée un diamètre fixe AB; on. mène les cordes CD parallèles à une direction connue, et pour chaque corde on joint respectivement les extrémités C et D aux extrémité A et B du diamètre fixe ; on demande le lieu des points M d’intersection des droites AC et BD ainsi obtenues (Concours d’admission à l’École Centrale, 1861).
XXI. Étant données deux droites AB, AC, on leur mène par un point . fixe O des sécantes telles que ODE. On prend ensuite sur la sécante considérée OM = DE (partie interceptée sur cette sécante par les droites données) : on demande le lieu des points M.
XXn. Par deux points donnés A et B, on mène les droites AM et B.M telles que l’angle MAB soit double de l’angle MBA : on demande le lieu des points d’intersection M. — Usage qu’on peut faire de ce lieu pour résoudre le problème de la trisection de l’angle.
XXUI. On donne dans un plan une droite AB et deux points fixes Cet D. Prenant un point quelconque S sur la droite AB, on élève aux droites SC et SD par les points C et D les perpendiculaires CM et DM : trouver le lieu des points d'intersection M do ces perpendiculaires ( Concours d’admission à l’École Centrale, 1861).
XXTV. Trouver le lieu des projectiops du sommet d’une parabole sur toutes les tangentes à la courbe.
XXV. Mener une normale à la parabole par un point quelconque pris dans le plan de la courbe. — Lieu des points d’où l’on peut mener seulement deux normales à la parabole : propriétés de ce lieu.
a84 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
XXVI. Trouver le lieu des centres des cercles astreints à être tangents à un cercle et à une droite donnés.
XXVII. On donne un cercle O et un point A. Par ce point, on mène une corde dont on prend le milieu I. On abaisse IP perpendiculaire sur le diamètre fixe qui passe par le point A, on prend sur cette perpendiculaire PM = AI, et l’on demande le lieu des points M. Discussion. (Concours d’admission à P École Centrale, 1861.)
XXVIII; Trouver le lieu des sommets des triangles qui ont une même base donnée et dont les angles à la base ont une ditfércnce constante.
XXIX. Trouver le lieu des sommets des hyperboles qui ont un même foyer et une même asymptote.
XXX. Construire une hyperbole connaissant un sommet, une asyra-
ptote et l’excentricité - de la courbe.
XXXI. Construire une parabole tangente à quatre droites données (284, 2°).
XXXII. Former l’équation de toutes les paraboles qui ont une même directrice et une même tangente : trouver le lieu des foyers et le lieu des sommets de toutes ces paraboles.
XXXin. Déterminer graphiquement les points de rencontre d’une droite donnée et d’une courbe du second degré, sans construire la courbe (on connaît les éléments d’où dépend dans chaque cas le tracé de la courbe).
XXXIV. Trouver le lieu géométrique des milieux des cordes d’une courbe du second degré qui viennent concourir en un point quelconque de son plan.
XXXV. Par un point quelconque pris dans le plan d’une parabole, on mène une sécante à la courbe : on trace les normales qui correspondent aux points d’intersection obtenus, et l’on demande le lieu décrit par leur point de rencontre.
XXXVI. Étant donnée une parabole, la sécante MAB se meut sous la condition que les normales menées à la parabole par les points d’intersection A et B se croisent en un point C de celle courbe; par le point C, on mène à la parabole la tangente CM qui vient couper la sécante MAB au point M : lieu des points M (Concours d’admission à l’École Polrtechnique, 1860).
XXXVII. Par un point P extérieur, on mène à une conique une sécante PAB; par les points de rencontre A et B, on mène des tangentes qui se coupent en M; de ce point on abaisse une perpendiculaire sur AB ; lieu des pieds de ces perpendiculaires. Prouver : 1° que le lieu passe en P; 2“ qu’il est le même pour toutes les coniques homofocales; 3° qu’il peut être considéré comme le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point P sur certaines droites qui sont tangentes à une courbe dont on demande l’équation (Concours d’admission à l’École Normale, 1861).
XXXVIII. Si par un point quelconque donné dans le plan d’une conique
on mène deux sécantes de direction fixe, les produits des segments compris sûr chaque sécante entre leur point commun et leurs points d’intersection avec la courbe, resteront dans un rapport constant quel que soit le point considéré (Newton).
