PRÉLIMINAIRES

Représentation du point.

285. Il faut d’abord montrer à l’aide de quels systèmes de coordonnées on peut indiquer la position d’un point dans l’espace.

Si l’on projette, par exemple, suivant une certaine direction, le point donné sur un plan, la projection obtenue sera déterminée par deux coordonnées relatives à deux axes tracés dans ce plan, et il suffira de connaître la distance du point à sa projection (distance qui sera comptée alors sur un axe parallèle à la droite projetante), pour pouvoir le retrouver à volonté dans l’espace.

D’après cela, le système de coordonnées le plus usité sera composé de trois droites non situées dans un même plan, issues ordinairement du même point, et le plus souvent perpendiculaires entre elles. Ces droites, qui, indéfiniment prolongées, partagent l’espace en huit angles trièdres invariables, sont les axes coordonnés; leur point de rencontre est l’origine des coordonnées; les trois plans qu’elles déterminent sont les plans coordonnés. Ces plans sont obliques ou perpendiculaires entre eux, suivant que les axes coordonnés sont eux-mêmes obliques ou perpendiculaires.

Les axes étant désignés par Ox, O j, Oz {fig- i4o)> le plan arOy peut être regardé comme le plan sur lequel on projette le point M parallèlement à l’axe Oz; la distance du point M au plan a?Oy sera alors mesurée parallèlement à cet axe. Les trois coordonnées du point M dans l’espace seront donc mp, mq. Mm.

On voit que, si l’on mène par le point M trois plans respectivement parallèles aux plans coordonnés, ces trois plans

détermineront précisément sur les trois axes les longueurs 0/7 = mq, Oq = mp, OR = Mm, égales aux coordonnées qui correspondent à ces axes. En désignant alors par x, y, z, les trois coordonnées du point M, nous pourrons écrire

x = Op, y=Oq, z = OR;

et si l’on construit sur les coordonnées du point M (comptées sur les trois axes à partir de l’origine) un parallélipipède, oblique ou rectangle suivant les directions des axes, le point M sera le sommet de ce parallélipipède opposé à l’origine.

Enfin, on peut dire encore que les coordonnées du point M mesurent ses distances aux trois plans coordonnés, la distance relative à chaque plan étant comptée parallèlement au troisième axe.

La figure montre qu’on a les trois coordonnées du point M, en menant Mm parallèle à Oz, puis mp parallèle à Oy.

286. En se reportant aux indications déjà données en géométrie analytique plane (2), on voit que chaque axe présente, à droite et à gauche de l’origine, une partie positive et une partie négative. Dans chacun des huit angles trièdres formés par les plans coordonnés, un point peut avoir les mêmes coordonnées en valeur absolue; mais, d’après, les conventions adoptées, aucune ambiguïté ne sera possible. En effet, les coordonnées de ce point seront :

X, y, Z, dans l’angle trièdre

Oxyz,

Oxy Z,

Ox'y'z,

Ox'yz,

Ox'yz',

Oxyz',

Oxyz',

Ox'yz',

Les coordonnées changent toutes de signes, lorsqu’on passe d’un angle trièdre à son symétrique.

287. Remarques. — I. Par suite, deux points M et M' situés sur une même droite passant par l’origine et à égale distance de cette origine, ont des coordonnées égales et de signes contraires {^g. i4i). La réciproque est vraie.

II. Pour les points situés dans un plan coordonné, la coordonnée hors de ce plan est nulle. Pour les points situés sur l’un des axes coordonnés, les deux coordonnées hors de cet

axe sont nulles. Les coordonnées de l’origine sont x = o,

Les coordonnées d’un point de l’espace peuvent varier entre -H CO et — 00 .

Quand nous écrirons le point (x', jr', z'), il faudra entendre le point dont les coordonnées sont x', y', z'.

288. On emploie encore, surtout en astronomie, le système polaire suivant.

Soit un plan fixe zOx [Jig. Le point M pourra être déterminé par son rayon vecteur OM = p par rapport au point O, par l’angle w de ce rayon vecteur avec l’axe Oz, par l’angle <p du plan zOM avec le plan fixe zOx. L’angle 9, compté positivement dans un sens convenu (de Ox vers 0 j par exemple), fait connaître le plan zOM, et le point M est ensuite marqué dans ce plan à l’aide de ses coordonnées polaires p et m.

Représentation des surfaces.

289. Lorsqu’un point se déplace arbitrairement dans l’espace, ses trois coordonnées varient d’une manière tout à fait indépendante. Mais si ce point est astreint à se trouver sur une certaine surface, les valeurs de deux de ses coordonnées (celles qui déterminent sa projection sur le plan xOr par exemple) suffisent pour déterminer la troisième coordonnée. En menant par le point obtenu sur le plan xOy une parallèle à l’axe Oz, on viendra en effet pereer la surface considérée en un ou plusieurs points parfaitement définis, et dont le z dépendra précisément des valeurs de x et de j et des propriétés spéciales de la surface. Il existera donc dans ce cas entre les coordonnées x, y, z, une relation particulière qui permettra de déduire z des valeurs de x et de y. Cette relation

2 =/(^. r) ou F {x, y, z) = O

est l’équation de la surface proposée, puisqu’elle traduit algébriquement la condition nécessaire pour que le point mobile se trouve constamment sur cette surface.

Dans chaque système de coordonnées, tant que la surface ne changera pas, son équation restera la même, sauf les modifications qu’un changement de position par rapport aux axes peut y apporter.