Réciproquement, deux équations à trois variables
prises ensemble, représentent une ligne.
En effet, chacune d’elles, considérée isolément, représentant une surface (290), leur ensemble représente l’intersection de ces deux surfaces, c’est-à-dire une ligne!
On voit, d’après cela, que le mode de représentation d’une ligne peut varier à l’infini, puisqu’on peut faire passer par une même ligne une infinité de surfaces. Si entre les deux équations données on élimine successivement y et x, on pourra remplacer le premier système par celui-ci
F, (.r, z) = o, O, z)z=o ou
Employer ce dernier système, c’est regarder la ligne donnée comme l’intersection des deux surfaces cylindriques qui la projettent sur le plan des zx et sur le plan des zy. L’adoption de ces surfaces projetantes est ordinairement préférable. Pour avoir la troisième projection de la ligne sur le plan des xy, il suffira d’éliminer z entre les équations des deux premières surfaces.
D’après ce qu’on vient de dire, les trois axes coordonnés ont respectivement pour équations
3 = O et K= O, z = O et ,r = O, y = o et .r = o.
GÉOMÉTUIE .VNALYTKJUE. 39I
293. Hemnrque. — Trois équations à trois variables représentent autant de points qu’elles offrent de groupes de valeurs communes. En effet, deux surfaces se coupant suivant une ligne, trois surfaces se coupent en général suivant un ou plusieurs points. Les équations simultanées x =. a, y = b, z = c, représentent l’intersection de trois plans respectivement parallèles aux plans coordonnés; et l’on est ramené à la détermination du point telle que nous l’avons indiquée au n" 285.
294. Nous terminerons cette introduction en établissant deux formules usuelles qui nous seront nécessaires dès le chapitre suivant.
Soit le parallélipipède OM (^g- i4^) construit sur les coordonnées X, /, Z du point M rapporté aux axes rectangulaires Ox, O J, O Z. Le carré de la diagonale OM aura pour expression
OM’ = x^
ce qui prouve que la distance ô d’un point quelconque à l’origine des coordonnées, a pour expression, dans l’hypothèse d’axes rectangulaires.
Mais, si l’on désigne par a, p, y, les angles de la diagonale OM avec les trois axes, les trois triangles rectangles OMp, OMç, OMR, donneront aussi
.r = OMcosa, r=OMcos(3, z = OMcosy.
En substituant dans la relation précédente et en simplifiant, il viendra
cos’a -t- cos’(5 -I- cos’y = i.
.\insi, comme nous l’avons déjà démontré {Trig., 17), la somme des carrés des cosinus des angles formés par une droite quelconque avec trois axes rectangulaires est toujours égale à l’unité.
Considérons maintenant (même figure) les deux droites OM et OM' dont l’angle est V; appelons ce', (3', /, les angles de la droite OM' avec les trois axes. On peut aller du point O au point M, soit directement, soit en suivant le contour OpmM. Les projections de OM et de Opm'ül sur OM' seront donc égales (Trig., 16). On aura, par suite,
OM cosV = cr cos«'-t- jcos[3' -1- Z cosy'
ou, en remplaçant x, y, z, par OM cosa, OMcos^, OMcosy, et en supprimant le facteur OM,
cosV = coscK cosa' -1- cos (3 cos P' -f- cosy cos y'.
Donc /e cosinus de l'angle de deux directions est égal à la somme des produits des cosinus des angles que ces deux directions forment respectivement avec trois axes rectangulaires.
La condition de perpendicularité des deux directions données est
cosV = O ou
cos« cosa'-l- cos[3 cos^' + cosy cosy' = o.
