TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

295. Déplacement de l’origine. — Nous effectuerons successivement le changement d’origine et le changement de direction des axes. Pour obtenir les formules générales de transformation, il suffira ensuite de réunir les deux résultats obtenus.

Si l’on transporte les axes coordonnés parallèlement à euxmêmes, et si p, q, r, représentent les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes {fg. i44)> oti sura évidemment {x,y, z, étant les coordonnées du point M rapporté aux axes primitifs Oxpz; x',y,z', les coordonnées du même point, rapporté aux nouveaux axes O'x'yz'}:

En effet, on peut aller du point O au point M, soit directement, soit en suivant la ligne brisée OO'M. Si l’on projette les deux chemins sur l’axe Ox, on a

OQ = 0(/ -i- 7 0 = 0^ -1- O'Q',

c’est-à-dire

X = p-\rX'

296. Changement de direction des axes. — • Nous supposerons les axes primitifs Ox, Oy,Oz, rectangulaires. La marche à suivre serait d’ailleurs tout à fait analogue, si on les supposait quelconques comme les nouveaux axes 0x',0x',0z'{Jig. i45).

On peut aller du point 0 au point M, soit directement, soit en suivant le contour gauche OQ'P'M. Les projections de OM et du contour OQ'P'M sur les trois axes 0*, 0 y, O2, seront donc égales. Comme les axes primitifs sont rectangulaires, les

GÉOMÉTRIE AMALYTU^UE. 2g'i

projections de OM sur ces axes seront précisément les coordonnées X, y, Z. On aura donc, en désignant par a, a', les angles formés par Ox, par p, (3', (3", les angles formés par Oy, par y, y', y", les angles formés par Oz, avec les trois axes 0;c', O/, O2' ;

X — :r'cos a -h y' cos x' -t- z' cos a", y = x' cos P -y y' cos P' -h z' cos p",

Z — x' cos y -y y' cos y' -j- z' cos y".

Les axes primitifs étant rectangulaires, on a d’ailleurs (294):

cos’ X -f- cos’ P -f- cos’ y = i, cos’ x! -f- cos’ P' -I- cos’ y' = I, cos’ x" + cos’ P"-+- cos’ y"= i .

Si les nouveaux axes sont rectangulaires, il faut en outre Joindre à ces relations les trois conditions (294) :

cos X cos x' cos P cos P' 4- cos y cos y' =0, cos x! cos «" cos P' cos P" + cos y' cos y" = o, cos a" cos « -f- cos P" cos p -t- cos y" cos y = o.

297. Si l’on voulait repasser des nouveaux axes aux anciens, on remarquerait que x, p, y, sont les angles formés par Ox' ; «'1 P', y', les angles formés par O/'; x", P", y", les angles formés par Oz', avec les axes 0.r, O/, Oz. On écrirait donc immédiatement:

x' =^x cos X ->r y cos p 4- z cos y , y' = X cos x' -y y cos P' 4- z cos y', z' =x cos x"-yy cos p"4- z cos y";

et les équations de condition seraient:

cos’ a 4- cos’ x' 4- cos’ x"= I , cos’ p 4- cos’ P' 4- cos’ p"= I, cos’ y 4- cos’ y' -i- cos’ y" = i , cos X cos p 4- cos x' cos P' 4- cos a" cos P" = o, cos p cos y 4- cos p' cos y' 4- cos P" cos y" = o, cos y cos X y cos y' cos a' -f- cos y" cos x!' — o.

298. Formules d’Euler. — Les formules de transformation précédentes, relatives au changement de direction des axes, ont l’inconvénient d’introduire dans les calculs neuf angles , dont trois suffisent d’après les six relations auxiliaires indiquées.

2{j4 CÉOMÉTIUE A^AL\TIQtE.

On peut alors, d’après le mode dû à Euler, fixer la posilioii des nouveaux axes reclangulaires par rapport aux anciens, en employant directement les trois constantes angulaires suivantes. La première Q correspond à Y dx\g\& zO z' [Jip;. i46), ou à l’angle formé par les deux plans xOjr, x'Oy' {Géom., 190). La seconde 9 est l’angle formé par l’intersection 01 des deux plans xOy, x'Oy', avec l’axe primitif Oæ:. La troisième 'l' est l’angle formé par la même intersection avec le nouvel axe Ojt'.

Pour exprimer les neuf angles a, ex', ex" , j3', [5", y, y', y",

ou mieux les huit premiers, puisque y" =6, en fonction des nouvelles constantes 0, 9 et 'l'» on pourrait avoir recours à la Trigonométrie sphérique. Mais il est plus rationnel de remarquer que l’intersection 01 ou Ox" des deux plans xOj, x'Oy', est perpendiculaire au plan zOz', et dès lors aux intersections Oy" et Oj"' de ce plan avec les plans xO^et x'0/'(ce qui entraîne y"Oy"’ = 6). On peut donc passer d’abord, dans le planxOj, du système rectangulaire xOy au système rectangulaire x"Oy" (l’angle x"Ox étant égal à 9), à l’aide des formules connues (26):

X = x" cos 9 — sin 9,

X = x" sin 9 +y" cos 9.

On passera ensuite, dans le plan x'Oj', du système rectangulaire x"0|y"' au système rectangulaire x'Oy' . L’angle x' O x" étant égal à on aura

x" = x' cos — y' sin y'" = x' sin 4' -H j' cos 4-

On passera enfin, dans le plan zOz', du système rectangulaire zOy" au système rectangulaire z'Oy"’. L’angle /"Or" étant égal à 0, on aura

y"=y'“ cos ô — s' sin 5,

Z =j“'sin (3-(-2'cos0.

On a ainsi six équations entre x,y, z, x',y', z', x",/', j”. En éliminant entre ces équations les inconnues auxiliaires x".

y"’ 1 on arrivera aux formules d’Euler, qui lient les anciennes coordonnées x,y, z, aux nouvelles x', y', z', à l’aide des constantes angulaires 0, 9 et 4- Ces formules sont:

X = x' (cos 9 cos 4 — sin 9 sin 4 cos 0)

— j'(cos 9 sin 4 H- sin 9 cos 4 cos 0) -t- z' sin 9 sin 0,

y = x' (sin 9 cos 4 -H cos 9 sin 4 cos G)

— y' (sin 9 sin 4 — cos 9 cos 4 cos G) — z' cos 9 sin G,

3 = x' sin 4 sin G ^ ' cos 4 sin G -4- s' cos G.