Seelion.s planes d'iine sarjaee. — Si l’on suppose fpic

CÉ0MÉTH1E ANALVTIQEE. 2y5

l’iiilerseclion d’une surface F (.r, y,z) = o par un plan soit rapportée à deux axes rectangulaires O'x' , O'r', tracés dans ce plan, on pourra opérer comme il suit pour trouver l’équation de la courbe obtenue.

Les axes primitifs O.r, Oj, Oz, étant rectangulaires, on passera, à l’aide des formules d’Euler, aux axes aussi rectangulaires O'x', O' y', O'z' ; puis, dans l’équation de la surface rapportée aux nouveaux axes, on supposera 2' = o (290).

On simplifiera le calcul en faisant immédiatement z' = a danslesformules précédentes. On peutaussi supposer l’axe O'x' parallèle à l’intersection 01 des deux plans xOj, x'O'r', c’està-dire faire ij; = o. Enfin, on peut placer la nouvelle origine O' sur l’axe Oz, de manière à annuler ses deux coordonnées pelq par rapport aux axes O a; et Oj*, et à ne conserver que sa troisième coordonnée r par rapport à l’axe Oz. L’équation de la section déterminée sur la surface par le plan x'O'y', s’obtiendra alors en remplaçant les coordonnées x,y, z, dans l’équation de la surface, par les valeurs suivantes:

x = x' cos 9 — y' sin 9 cos ô,

y = x' sin 9 -t- j'cos 9 cos 9, '

Z = r-hy' sin 9.

300. Passage du système rectiligne au système polaire, — Si l’on veut passer [Jig. 147) du système de coordonnées rectangulaires Oxyz au système polaire défini au n“288, on aura

X = OP cos 9 = P sin w cos 9, y = OP sin 9 = P sin m sin 9,

Z — P cos w.

a, p, w, étant les angles formés par le rayon vecteur OM avec les trois axes 0.r, Oj, Oz, on a aussi

X = P cos a, y= P cos p, 2 = P cos w,

en y joignant la condition

cos’ X -H cos’ (3 -t- cos’ M = I .

On a donc

sin w cos 9 = cos x, sin sin 9 = cos j3.

On en déduit réciproquement

; :: COS û r r

p= dx‘-i-y^-tz’, ou tang9 = -i-,

' cos XX X

cos (,1 = -— .

296 GÉOMÉïllIE A^A1.YÏ1QUE.

301. Distance de deux points. — Pour la distance d’un point à l’origine, nous avons trouvé en coordonnées rectangulaires (294)

Cherchons maintenant la distance de deux points M et M' [Jif^. 148) dont les coordonnées sont x, z, x',y', z'.

Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en MX, MY, MZ. Nous aurons (en désignant par X, Y, Z, les nouvelles coordonnées du point M')

MM'= Y^ZC

Mais on a (295)

ar' = x-t-X, j^'=^'-l-Y, z' — z-yZ.

Il en résulte

Par suite, la distance 3 cherchée a pour expression

3 = ^(x' — a;y-h(y' -yy-+-(z' — z)».

Si l’on suppose les coordonnées obliques, on prendra d’abord un système de coordonnées rectangulaires Ox,y,z, de même origine, et l’on aura pour la distance OM, estimée en fonction des coordonnées x„y,, z,, du point M,

ô = +rî +

Puis on passera au système oblique Oxyz proposé. On aura (en se reportant au n® 296) :

x, = xcos«-hycosx'-h zcosa",

y, = jtcos[3-|- jcosP'-f-2COs(3",

z, = xcosy -t-jcosy'-t- zcosy", cos’* cos’(3 -h cos’y =1, cos’*'-t-cos’p'-f- cos’y' = I, cos’ «"-H cos’P"-4- cos’y"= i .

On aura en outre (294) ;

cos* cos*' -f-cospcos^' -+- cosy cosy' = cos(*’Oj), cosa'cosa" -i- cos cos (3" -t- cosy'cosy"= cos(jOz), cos*"cos* -i- cos[3"cosP -h cosy"cosy =cos(zO*').

£n substituant dans la relation

3 = \jx]y-y\-\-z\

3 bD O C Ci, «