DE LA LIGNE DROITE
Équations de la ligne droite.
303. Étant donnée une ligne droite dans l’espace, si l’on considère les deux cylindres ou les deux plans qui la projettent respectivement sur le plan des xz (parallèlement à l’axe des/) et sur le plan des yz (parallèlement à l’axe des x), les équations de cette droite seront de la forme (292)
x = az -y p, y—bz-^q.
D’une manière générale, deux équations du premier degré, à une, deux ou trois variables, représentent toujours une ligne droite. En effet, nous savons qu’une équation du premier degré à une ou à deux variables représente un plan (290); deux pareilles équations représentent donc l’intersection des deux plans correspondants, c’est-à-dire une ligne droite. Et si l’on a deux équations du premier degré à trois variables, on peut les ramener au type précédent en éliminant successivement entre elles les variables y et x.
Ainsi, d’une manière générale, nous représenterons analytiquement une ligne droite par les deux équations simultanées
( I ) X = az -i- p,
(-2) ' y=bz-hq.
La première (jointe à l’équation j=o) représente la projection de la droite sur le plan des xz ; la seconde (jointe à l’équation x = o) représente la projection de la droite sur le plan des /Z. Pour avoir la projection de la droite sur le plan des xy, il suffit d’éliminer z entre les équations (i) et(T). Il vient pour équation de cette projection (en y joignant la condition z = o)
304. Les constantes a et b sont les coefficients angulaires des projections de la droite sur le plan des xz et sur le plan des r s. En faisant z = o dans les équations (>) •’l (’)> trouve
GÉUMÉTIUE analytique. Qgg
Par suite les constantes p et g sont les coordonnées du point où la droite donnée perce le plan des xj.
Les équations d’une droite renferment quatre constantes arbitraires, parce que le nombre des conditions de détermination ne pouvant varier, tandis que celui des équations nécessaires a doublé, il doit en être de même du nombre des paramètres.
Lorsqu’une droite passe par l'origine des coord*)nnées, on a p = q = o.
, Scs équations sont donc simplement
x=az, yz=bz.
Pour trouver la trace d’une droite sur l’un des plans coordonnés, il suffit (comme nous venons de le faire) de supposer nulle la coordonnée hors de ce plan dans les équations des projections de la droite sur les deux autres plans coordonnés. Par exemple, pour avoir le point où la droite rencontre le plan des xz, on fera 7 = 0 dans les équations (-2) et (3) : il viendra
305. Equations générales des droites passant par un point donné.
Soit [x',y', z') le point donné. Ses coordonnées devront satisfaire aux deux équations
( I ) X — az -y p,
(2) y=bz-yq.
On aura donc les équations de condition
(3) x'=az'-hp,
(4) y—bz'-hq.
En retranchant membre à membre les équations (1) et (3), (?) et (4), il viendra
On a ainsi éliminé les constantes p et q. Les équations (A) et { B) sont les équations demandées. Elles ne renferment plus (|uc deux paramètres arbitraires, parce que les droites qu’elles représentent no peuvent plus être assujetties qu’à une condi-
lion. Si l’une d’elles doit êlre parallèle à une droite donnée, les constantes a et 6 se trouvent déterminées, puisque deux droites parallèles ont des projections parallèles sur un même plan [Géom., 171).
306. Équations d’une droite passant par deux points donnés. Soient les deux points [x', y', z'), (x", y", z"). La projection de la droite sur le plan des xz devra passer par les points de ce plan qui ont pour coordonnées {x',z') et (x",z"). L’équation de celle projection sera donc
De même, la projection de la droite sur le plan des ja devra passer par les points de ce plan qui ont pour coordonnées ly't s')> (j"> ^")\ et l’équation de cette projection sera
Les équations demandées sont donc les équations (i) et (a). On peut les mettre sous la forme
307. Angles d’une droite avec les trois axes coordonnés supposés rectangulaires.
Si la droite donnée ne passe pas par l’origine, on lui mènera par ce point la parallèle OM. Désignons par «, (3, y, les angles de la droite OM [fig- IW) avec les trois axes. Nous aurons, en considérant le point M dont les coordonnées sont r, z,
a; = OMcos«, j=OMcosp, z = OMcosy.
D’ailleurs (294) l’ar suite
OM = \jx^-\-y^+ z'.
cos« = -- - ■ <
cos (3 = ■■ y
GÉOMÉTniE ANALYTIQUE. 3oi
Mais les équations de la droite OM étant
x = az, y=bz,
il viendra, en remplaçant dans les formules précédentes x et j par leurs valeurs en fonction de z et en simplifiant.
cos a :
cos|3 =
cosy =
\ja‘+ 6^4- I
Remarques. — I. On déduit de ces valeurs
cosa , cos S
cosy cosy
Les équations d’une droite peuvent donc se mettre sous la forme
cosa
cosy
ou
cos (3 cosy
cosa cosj3 cosy
II. Les axes étant rectangulaires, les angles formés par la droite OM avec les trois plans coordonnés sont évidemment les compléments de ceux qu’elle forme avec les trois axes (Géom., 186).
