Angle de deux droites données par leurs équations

Si les droites proposées ne passent pas par l’origine, on mènera par ce point à ces droites deux parallèles, dont les équations seront

I X — az, j X = a' Z,

\ y = bz, I y=b'z.

Désignons par a, (3, y, a', P', y', les angles de ces parallèles avec les trois axes, et par V leur angle. Nous aurons (294), les axes étant supposés rectangulaires,

cosV = cosaCOSa'H- cosj3 cosj3' -t- cosy cosy'.

So2 GÉOMÉTRIE A^AI.VTIQUE.

Nous aurons aussi (307)

cos« = cos(3 = cosy =

sja? -t- 1

-.1 cos a

COSj3':

v/n'’4- 6'*+ I , rosy' = - '

v/rt'’+ I

En subslituanl ccs valeurs dans la valeur de cosV, il viendra

-, an'-\-bb'+\

cos\ =

Pour que les deux droites données soient perpendiculaires, il faut qu’on ait

cosV = o,

c’est-à-dire

au' + bb' -{- 1 = O.

On retrouverait facilement la condition de parallélisme de deux droites rt = a', 6 = 6' (305), en posant

cosV = I ou

(rtfl'-l- bb'+ i)’ = (rt’-|-ft’-+- i) (rt'’-f- b'^-\- i).

309. Trouver le point d’intersection de deux droites données par leurs équations.

Soient les droites

1 X— az-{-p, 1 r= bzy-q.

1 x = a'z-hp', 1 y=b'z-{-q'.

Les trois cordonnées du point commun à ccs deux droites doivent satisfaire (d’une manière exclusive) aux quatre équations posées. L’intersection effective ne sera donc possible que lorsque les huit paramètres qui entrent dans ces quatre équations, satisferont à l’équation de condition obtenue en éliminant entre elles les variables x,y, z. En géométrie plane il ne pouvait en être ainsi, puisque l’intersection, même transportée à l’infini, devait toujours exister. Mais, dans l’espace, deux droites données étant ou non situées dans un même plan, la possibilité de l’intersection doit d’abord être établie.

GÉOMÉTUIE \NAL\T1QUE. 3o3

En relranclianl membre à membre el deux à deux les équations (A) et (B), il vient

On déduit des équations (i) et (2)

et .

On obtiendra alors immédiatement l’équation de condition cherchée, en égalant les deux valeurs de z.

Pour que deux droites soient dans un même plan, leurs paramètres doivent donc satisfaire à la relation

Lorsque celle condition est remplie, les coordonnées du point d’intersection sont (en substituant dans la valeur de x le première valeur de z, el dans celle de y la seconde valeur de z) :

x = az-\- P

r = bz^q

ap' — pa'

~ a — a' ' bq' — qb' ~ b — b' ■

310. Distance d'une droite .donnée à l’origine des coordonnées, les axes étant supposés rectangulaires.

Soient

( 1 ) x = az-\-p,

(2) y=bz->rq,

les équations de la droite donnée; soit OP la perpendiculaire abaissée de l’origine sur celte droite. Les coordonnées du point P, pied de ia perpendiculaire sur la droite, étant :r,j, z,

on aura

OP ou ô =

c’est-à-dire, en remplaçant x e\. y par leurs valeurs déduites des équations (i) et (2),

tî = \l[az -i- py-\-[bz -t- ç)'-t- s’

r.ÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

ô= v^(rt'4-6»4- 7.[ap -h hq) Z q‘‘.

Il reste à exprimer que la variable z correspond bien au point P. Pour cela, nous remarquerons que, pour cette valeur de z, è est un minimum, c’est-à-dire que sa dérivée par rapporta z doit être nulle. Nous aurons donc{Conipl. d’Alg., 123, 2"; 129)

I )z -t- 7.(ap -h bq)

2 6“ 4- I ) z’ 4- 2 (a;> -t- bq) z 4-/>'4- 7"

- ^ «P 4- bq

11 viendra donc pour la distance cbercbée 5:

[ap + bqY— 2(q;>4-feg)^-l-(p*4-g’)(a’4-f>^-i-i).

ou, en simplifiant,

ÿ ^ . /{aq^JpŸTy