CHAPITRE IV

mi PLAN.

Équation du plan.

312. Chaque mode de génération du plan conduira plus ou * moins facilement à son équation,

i“ Considérons d’abord le plan comme engendré par le mouvement d’une droite qui glisse parallèlement à elle-même sur une autre droite (Gêo/n., 156).

Soient ’ >.

X = az-^r p,

Ics équations de la génératrice ;

celles de la directrice.

La condition de rencontre constante entre ces deux droites sera (309)

a — fl' p — p'

La génératrice restant parallèle à elle-même, les coeflicients angulaires a et b sont constants, tandis que les paramètres linéaires p elq varient [en satisfaisant toujours à l’équation (3)] lorsque la génératrice passe d’une position à une autre.

Mais, pour tous les points de la surface engendrée, on a, d’après les équations (i),

p — x — flz, q—y — bz. \

Substituant ces valeurs dans l’équation (3), on aura la relation^ générale qui lie les coordonnées des points du plan, c’est-àdire Véquation de cette surface, sous la forme

a — fl' X — az — p'

b — b' y — bz — q'

On voit que cette équation est du premier degré à trois uoriables.

Une marche analogue conduirait à l’équation du plan considéré comme engendré par le mouvement d’une droite issue III. 30

3o6 GKOMÉTIUE ANALYTIQUE.

d’un point fixe et s’appuyant constamment sur une droite donnée (Géom., 156).

1° On peut aussi regarder le plan comme engendré par le mouvement d’une droite qui coupe toujours une autre droite en un même point, en lui restant constamment perpendiculaire [Géom., 159).

Soient

I x = az-^p,

I y=.bz->rq,

les équations de la droite fixe, et un point [x', y' , z') pris sur cette droite. Les équations de la perpendiculaire mobile menée à la droite fixe par le point (x\ y', x') seront (305)

en y joignant la condition (308)

(3) oa' -h bb' -y 1 — O.

Pour tous les points de la surface engendrée, on aura donc

Substituant ces valeurs dans l’équation (3), on obtiendra l’équation du plan sous la forme

rt (.r — .r') ■+- b [y' — y') -y z — z' = o.

3” Soit enfin (Jig. i4g) le plan .\BC qui coupe les trois axes aux points A, B, C. Abaissons de l’origine sur ce plan la perpendiculaire OU = â, et soient a, [3, y, les angles qu’elle forme avec les trois axes. M étant un point quelconque du plan, on pourra aller du point O au point M, soit en suivant " le chemin OHM, soit en suivant le chemin OQPM formé par les coordonnées du point M. Les projections de ces deux chemins sur OU seront donc égales. Or la projection de OHM sur OH se réduit à OH ou è. On aura donc pour tous les points de la surface

ÔrrrXCOS* -I- JC0S(3-1- Z COSy,

ce qui est une nouvelle forme de l’équation du plan.