Hans tous les exemples qui précèdent, nous avons

GÉOMÉTBIE ANALYTIQUE. Soj

trouvé pour équation du plan une équation du premier degn* à trois variables. Montrons réciproquement qu'une pareille équation de la forme

représente toujours un plan.

On pourrait démontrer qu’une droite est contenue tout entière dans la surface correspondante, dès qu’elle a deux points sur cette surface. On peut aussi procéder de la manière suivante.

Si l’on fait dans l’équation (i), on trouve l’équation

de la tr.ice de la surface considérée sur le plan des xz. Celte trace {fig i5o) est la droite

De même, les traces de la surface sur le plan des et sur le plan des xy, obtenues en faisant successivement x = o et z = o dans l’équation (i), sont les droites

Cz -1- U = O,

Aa: + Bj'+ D = O.

Etudions maintenant les coupes de la surface par des plans parallèles au plan des xy. Si l’un de ces plans est z = a, il rencontre la surface suivant la droite

iz = a,

Cette droite est parallèle à la droite Ax -t- B j + D = o, intersection de la surface et du plan des xy. De plus, le point où elle perce le plan des yz a pour coordonnées

Ca-f-D

x=o, Z — a et y= g

Mais cette dernière valeur prouve qu’on a pour ce point Bj-t- Cz -hD = O,

c’est-à-dire qu’il appartient à la trace de la surface sur le plan des jz. On peut donc regarder celte surface comme engendrée par le mouvement d’une droite qui glisse parallèlement à une direction donnée, en s’appuyant constamment sur une droite fixe. L’équation

{ I ) A JP -h B r -(- C Z -(- D = O

représente donc bien un plan.

3oS GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

314. Remarques. — I. Le plan représenté par l’équation ( i ) coupe les trois axes; car, en faisant successivement deux variables milles dans son équation, on trouve

Désignons les coordonnées du plan à l’origine par p, q

viendra

d’où

ÏC

L’équation du plan prend alors la forme très-symétrique

II. Si l’une des variables manque, l’équation représente un plan parallèle à l’axe qui correspond à cette variable (290).

Si deux variables manquent, l’équation représente un plan , parallèle à celui des deux axes sur lesquels on compte ces variables (290). '

III. Il n’entre réellement que trois constantes arbitraires ' dans l’équation du plan (nombre de points nécessaires pour le déterminer), puisque les véritables paramètres de l’équation sont les rapports de trois des coefficients au quatrième. On peut donc mettre l’équation du plan sous la forme (en divisant tout par — D)

' ax ->r by cz = \ .

Si l’on divise par G, on peut écrire aussi Z = mx -t- ny -|- p.

Cette seconde forme montre immédiatement (en faisant successivement j= o et a: = o) que m et n sont les coefficients angulaires des traces du plan sur les plans des xz et des yz, tandis que p est l’ordonnée du point commun au plan proposé et à l’axe des z (ce qu’on voit en faisant ensemble x = o et y = o).

IV. Lorsqu’un plan passe par l’origine, son équation doit être satisfaite pour x =^y= z = o] elle est donc de la forme

Aar -f- Bj- -t- Cz = O ;

le coefficient D disparaît.

CKOMÉTRIE AiWLVTIQUE. 3oj)