Équation générale des plans passant par un point donné

Soit le point donné (x', y, z'). Si le plan

(1) Ax -H + Gz -H D = O

passe par ce point, on aura l’équation de condition

(2) Ad;' -f- Bj' -4- Cz' -f- D = O.

On peut s’en servir pour diminuer d’une unité le nombre des paramètres de l’équation générale. En retranchant membre à membre les équations (i) et (2), il vient

c’est l’équation demandée.

Si l’on veut en outre que le plan cherché soit parallèle à un plan donné

on remarquera que les traces de deux plans parallèles sur un troisième sont parallèles. Les traces des plans représentés par les équations (i) et (4), sur le plan des xz et sur celui des yz, ont pour équations

Aa: 4- Cz -|-D = o, A'a; 4- C'z -4- D' = o, Bj4-Cz4-D = o, B'/4- C'z + D' = o.

Pour que les deux plans soient parallèles, on devra donc avoir

c’est-à-dire

Deux plans sont donc parallèles, lorsque les coefficients des variables dans leurs équations sont proportionnels.

En revenant à la question indiquée, on voit qu’on doit • poser

L’équation (3) prend alors la forme (k disparaissant comme facteur commun)

3lO ÜÉOMÉTBIE A."iAL\TIQL’E.

Elle représenle, dans ce cas, le plan mené par le point {x', r'> s') parallèlement au plan