Intersection d’une droite et d’un plan. Soient

( I ) x = az-]-p,

(2) jr — bz + q,

la droite donnée, et

(3) Aar-+- Bj-I- Ci -h D = O

le plan donné.

Ces trois équations sont simultanées, seulement pour les coordonnées du point cherché. En substituant les valeurs de ^ et de J tirées des équations (i) et {2) dans l’équation (3), il vient

A ^az — |— p) — |— B (6i — |— q^ -t- C2 -H I) = o,

d’où

Ap-t-By-t-D A a B b — |— C.

Connaissant le z du point d’intersection, les équations (i) et {2) font immédiatement connaître son x et son y.

Remarques. — 1. La valeur de z donnée par l’équation (4) sera infinie, et il en sera de même des valeurs de x et Aey, si l’on a .

sans que la même condition soit remplie par le numérateur de l’expression considérée.

Donc, pour qu'un plan et une droite soient parallèles, on doit avoir entre les coefficients de leurs équations les relations

jAp+Bg + D^o.

II. La valeur de z donnée par l’équation (4) sera indéterminée, et il en sera de même des valeurs correspondantes de x et de jp, si l’on a à la fois

I A et — B b -4— C O,

( Ap-t-Bg + D = o.

Donc, pour qu une droite soit située dans un plan, on doit avoir les relations (6) entre les coefficients de leurs équations.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 3l5

L’équalion A/? + B^ + ]) = o indique que la droite donnée perce le plan des xy en un point de la trace du plan proposé sur le même plan coordonné.

323. Mener par une droite donnée un plan parallèle à une autre droite donnée. ‘

Les équations des deux droites données étant

I x = az-\- p,

I r= bz + q,

I x — a‘z-ir p', i y = b' Z -1- q' ,

et celle du plan cherché étant

(3)' Aæ: -t- -H D = o,

on devra avoir d’après ce qui précède (322)

Aa-(-Bè-l-C = O, A/M- B^ 4- D= o, Aa'+ Bè' + C o*