Droite et plan perpendiculaires

Les axes étant supposés rectangulaires, soient la droite

X = az p, ^

y=bz-irq,

et le plan

kx ■+■ B J -I- Cz -I- D = O.

3t, p, y, étant les angles formés par la droite proposée avec les trois axes, on a (307, Rem., I)

cos a , cos S

cosy cosy

Mais si cette droite est perpendiculaire au plan donné, on a aussi (317)

cos a A cos (3 B

cosy

Il viendra par suite

Ainsi, pour qu'une droite et un plan soient perpendicu~ laires (*), les coefficients de leurs équations doivent satisfaire aux conditions {i) et (a).

Les équations de la droite menée perpendiculairement au plan Ax-i- B/-i- Cz -H D = O par le point [x', y, z') seront donc

x—x' = ^{z--z'), y—f=^(z — z'} ou

La longueur comprise sur cette perpendiculaire entre son ' point de départ et le plan proposé a déjà été calculée (319).

325. Angle d’une droite et d’un plan, les axes étant supposés rectangulaires.

On peut admettre que la droite donnée passe par l’origine, puisqu’on peut toujours la remplacer (eu égard à la question posée) par la parallèle qui lui serait menée par ce point.

L cosy C ' A

(*) On nrrivcrait aux mêmes résultaU) en remarquant que la projection de la droîlc et la trace du plan sur chacun des plans coordonnés doivent être perpendiculaires ((ff'om. iicjcr,).

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GÉOMÉTRIE ANALyTlQlU.

Soient donc

scs équations, et

X = az, y — bz.

celle du plan considéré.

L’angle de la droite et du plan étant l’angle de la droite avec sa projection sur le plan, si l’on abaisse d’un point quelconque de" la droite (par conséquent de l’origine) une perpendiculaire sur le plan, l’angle des deux droites sera le complément de l’angle cherché.

Or la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan a pour équations (32i)

Si l’on désigne par U l’angle de cette perpendiculaire et de lu droite donnée, et par V l’angle cherché, on aura donc (308)

■p fl H” -TT é “l~ r

• ' sinV = cosU = — ^ ^

c’est-à-dire

. -/ Afl-4-B6-i-C

sinV =

V A’ -t- B’ -i- G’ V fl’ -+- 6’ -h I

Pour que la droite donnée soit parallèle ou perpendiculaire au plan donné, il faut qu’on ait sinV=^:o ou sinV= i; on retombe ainsi sur les conditions de parallélisme ou de perpendicularité déjà indiquées (322, 324),

326. Plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan, les axes étant supposés rectangulaires.

Désignons par M et N les deux droites données. Si l’on voulait avoir les équations mêmes de la plus courte distance, il faudrait [Géom., 185) faire passer par la droite M un plan P parallèle à la droite N, puis mener par chacune des droites M et N un plan perpendiculaire au plan P (322, 318); l’intersection des deux plans obtenus serait la plus courte distance demandée (320).

Si l’on veut simplement connaître la longueur ô de la plus courte^dislance, on peut opérer comme il suit.

géométrie: analytique.

Soient

j xz=az-\-p, ( y=^bz + q,

I f=b'z-hq',

les équations des droites M et N. Le plan P (mené par la droite M parallèlement à la. droite N) aura pour équation (323)

X — az — p n — a' y — bz—q~b — b'

La distance d’un point quelconque {x, y, z) de la droite N au plan P est égale à ô (Géom., 169). L’équation (3) pouvant s’écrire

(b — b')x — (fl — a')y+{ab' — ba')z-yq{a — a') — p{b — b')— o, on aura (319)

Kx B r + Cz -I- D ~ v'A'-t-B’ + C»

{b — b')x — (fl — a'}y'-h(ab' — ba')z + q{a — «')— p{l> — è')

v'(6 — b'y -y (fl — a')’ -t- (ab' — ba'f

En remplaçant a? et J en (onction de z par leurs valeurs déduites des équations (2), il vient, en simplifiant (z disparaît alors comme cela doit être)

' 4[a — a'y-Jr{b — b'f-^(nb' — ba'f

Comme il s’agit d’une distance absolue, le radical prendra dans la formule (4) le signe du numérateur.

Si les droites données se coupent, on a (309)

c’est-à-dire

(fl — fl') {q — q') — [b — b'){p — p') = O, et l’on trouve

Si les droites données sont parallèles, on a fl = fl', b = b',

et par suite

ab' = bn'.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 3lQ

La valeur de o se présente alors sous une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, nous remarquerons qu’on a dans ce cas

a — a' = b — b' et ab' — ba' = {a — n'){a — b).

On peut donc faire disparaître le facteur commun a — a', et il reste

V 2 -I- (a — by ,

QUESTIONS PROPOSÉES

I. Chercher l'équation de la bissectrice de l’angle de deux droites dont les équations sont données sous la forme (307, Rem., I )

cos a cos P cos 7 CÜSa' ~ cos(i' ~ cosy'

On devra trouver — -, = — ^ 7-,— ; ; •

cosa -)-■ cos a cosp 4- cosp C0S7 4- cos 7 J

n. Trouver l’équation du plan tangent à la sphère, en le considérant comme plan mené perpendiculairement à l’extrémité d’un rayon.

III. Trouver le lieu géométrique des points tels, que la différence des carrés de leurs distances à deux points donnés soit égale à une constante donnée.

IV. Trouver le lieu géométrique des points tels, que la somme des carrés de leurs distances à deux points donnés soit égale à une constante donnée.

V. Trouver le lieu des points également éclairés par deux lumières données.

VI. Faire passer par une droite donnée un plan qui fasse avec un plan donné un angle donné.

VII. Démontrer que les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d’un tétraèdre, se coupent mutuellement en parties égales.

VIII. Trouver le lieu de tous les points qui sont à égale distance de deux points donnés.

IX. Chercher l’expression du volume d’un tétraèdre, en fonction des coordonnées de ses quatre sommets.

X. Chercher les rayons des sphères inscrite et ■'circonscrite à un tétraèdre donné.

XI. . Trouver le lieu décrit par le centre de gravité d'un tétraèdre qui s’appuie sur une base fixe, et dont le quatrième sommet est astreint à rester sur la surface d’une sphère donnée.

GÉOMÉTRIE AMALYTigUE.

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