DES DIFFÉRENTES CLASSES DE SURFACES

Notions préliminaires.

327. Le changement des axes coordonnés ne peut modifier ni le degré, ni la nature de l’équation de la surface considérée. En effet, les formules de transformation (296) étant du premier degré et de la forme x — ax' -i- by^ cz' -t- d, l’équation demeurera en général du degré m après la transformation, si elle était avant de ce degré; elle restera de même algébrique ou transcendante.

Une surface du degré ou de l’ordre m ne peut être coupée par un plan que suivant une courbe au plus du degré m. Car, si l’on prend le plan sécant pour plan des xy, et si l’on fait ensuite z = o dans l’équation de la surface, on aura l’équation de la section dans le plan sécant, laquelle sera au plus du degré m.

Une droite ne peut aussi rencontrer une surface du degré ni en plus de m points. Car si l’on prend la droite donnée pour axe des x, et si l’on fait ensuite dans l’équation de la surface j=o et z = o, on aura une équation qui sera au plus du degré m et qui fera connaître les abscisses des points de rencontre de l’axe des x avec la surface.

Le plan sécant fait partie de la surface représentée par l’équation proposée, lorsque, après la transformation, l’hypothèse z = O rend l’équation satisfaite. 11 y a alors décomposition de l’équation en facteurs.

De même, l’axe des x est tout entier sur la surface, lorsque l’équation est vérifiée d’elle-raême pour j = o et z = o.