Toute surface peut être regardée comme engendrée

par une courbe qui se meut (en variant ou non de forme) suivant une loi déterminée : cette courbe est la génératrice de la surface. Si l’on exprime la loi de son mouvement, en l’astreignant à rencontrer d’autres courbes, ces courbes sont les directrices de la surface. , ,

GÉOMÉTRIE AiSAL'VTIQljE. Jït

La génératrice et les directrices peuvent être planes ou gauches. Si la génératrice (alors plane) doit rester constamment parallèle à un même plan, ce plan est un plan directeur Ac la surface.

Le classement rationnel des surfaces est basé sur la nature de leur génératrice et sur la loi de son mouvement ; c’està-dire que deux surfaces sont de même espèce lorsqu'elles ont pour génératrice la ntême ligne mue de la même manière : c’est alors par leurs directrices qu’on les distingue.

329. D’une manière générale, pour trouver l’équation d’une surface, on écrit d’abord les deux équations de la ligne génératrice : la mobilité de cette ligne est exprimée par l’indétermination de quelques-uns des paramètres qui s’y rapportent. Soit n le nombre de ces paramètres. On écrit ensuite les équations qui règlent le mouvement de la génératrice, par exemple, les équations des courbes directrices. Ces dernières courbes devront être , dans l’hypothèse faite , au nombre de n — I. En effet , s’il y en avait «, en éliminant les variables X, y, Z, entre les deux équations de la génératrice et les deux équations de chaque courbe directrice, on obtiendrait successivement n équations de condition entre les n paramètres arbitraires qui seraient déterminés une fois pour toutes; la génératrice resterait donc immobile, et il n’y aurait plus de surface.

S’il y a n — i courbes directrices au contraire, on arrive <■ ainsi à n — i équations de condition entre les n paramètres arbitraires ; en y joignant les deux équations de la génératrice, on obtient re-l- i équations entre les n paramètres et les trois variables x,y,z, de sorte qu’en éliminant ces n paramètres entre les équations posées, on obtient une dernière équation qui exprime une relation constante entre les coordonnées x,y, Z, d’un point quelconque de la génératrice et qui est l’équation de la surface.

Enfin, si l’on donnait, toujours dans les mêmes hypothèses, moins de n — i courbes directrices, on aurait entre les n paramètres moins de n — i équations de condition ; et pour les éliminer, il faudrait en supposer quelques-uns constants. Dans ce cas, l’équation de la surface obtenue contenant ces mêmes paramètres, on la ferait varier à volonté en modifiant les paramètres conservés : on n’aurait donc plus une surface déterminée.

Il est bien entendu que les conditions du mouvement de la génératrice peuvent être introduites en partie au niomenl même où l’on écrit les équations de cette génératrice ; ce qui diminue d’autant le nombre des paramètres arbitraires.

ctoMÉTIUE AN^LYTIQUn.

Des surfaces cylindrigues.

330. Toute, surface cylindrique est etif^endrée par une droite qui glisse parallèlement à elle-même , en s’appuyant sur une certaine courbe directrice.

Soient

x = nz p, y=bz-yq.

les équations de la génératrice ;

celles de la directrice.

Les coefficients a cl b sont constants cl déterminent la direction de la génératrice; les coefficients p cl q varient au contraire, lorsque la génératrice passe d'une position à une autre. Quelle que soit la nature de la courbe directrice, on pourra éliminer les variables x,y, z, entre les groupes d’équalions(i) et {2). On trouvera ainsi entre les paramètres arbitraires p cl q la relation

Celle relation exprimera la condition qui lie pclq lorsque leurs valeurs simultanées correspondent à une génératrice de la surface cylindrique: en éliminant /r et 7 entre les équations.( 1 ) et (3), on aura donc l’équation des surfaces cylindriques, dont le type général est dès lors

V{x — az, y—bz) = o-,

car les caractéristiques /et 9 variant, il en sera de même de. la caractéristique F.

Si l’on tire de l'équation (3) p = ^{q), on peut encore mettre l'équation (4) sous la forme

X — az = — bz).

Remarquons que l'équation (3) représente précisément la , trace de la surface cylindrique sur le plan des xy. On passera ( donc immédiatement de l’équation de la trace de la surface sur le plan des xy à l’équation même de la surface, en remplaçant dans l’équation de la trace x et y par les différences x — az et Y — bz.

<.KOMliXRlE ANALVTIQIFE.