Élanl donnée une équation

il est facile de reconnaître si elle représente ou non une surface cylindrique. ^

, Dans le cas de l’affirmative, on peut prendre

\ X — az -I- />,

■ ■ ■ . I y:=bz -f- 7,

pour équations de la génératrice, et mettre l’équation (A) sous . la forme

(A') ' i|^(a2+/>, bz-\-(i, z) = o.

D’ailleurs la même substitution met à la place de l’équation (4), qui représente toutes les surfaces cylindriques (330), l'équation

Il faut donc, si l’équation (A) représente réellement une surface cylindrique, qu’on puisse identifier les équations (3) et (A') indépendamment de toutes valeurs attribuées à /? et J A q, c’est-à-dire il faut qu’en égalant à zéro les coefficients ' de Z dans l’équation (A'), on obtienne deux valeurs réelles pour lés quantités a et b. Ces valeurs réelles détermineront la direc- *" ' lion des génératrices de la surface, et l’équation (A') donnera

alors pour courbe directrice la trace de la surface sur le plan des x)~, trace qu’on obtiendra d’ailleurs directement en faisant 2 = O dans l’équation (A).

, ‘ ’ 332. Exemples. — i" Supposons que la trace de la surface

• . .sur le plan des xy soit le cercle

et qu’elle ait pour généi-atrice la droite

\ x=^az +p,

• ' i y = bz q.

D’après la remarque faite à 1a fin du n” 330, on n’aura qu'à , remplacer dans l’équation (i) les variables x et j par les diffé- ' rences x — az, y — bz. 11 viendra ainsi pour l’équation de la ; surface du cylindre circulaire oblique considéré

• : ■ {x — — bzYz=rK

3a4 GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

2° Cherchons si l’équalion

J--H 2 2’ — 7.XZ — 7.yz — 1=0

représente une surface cylindrique.

Suivant la règle donnée (331), il faut remplacer x et r par az->rp ai bz + q. 11 vient

2fl — 2<»)2’-|-2(rt — i)pz+7:(b — i)qz-hp--^q'‘ — i=o.

On doit alors trouver pour « et 6 des valeurs réelles qui fassent disparaître z de l’équation résultante. Uemarquons que lesternies en pz et en qz, quoique contenant la même puissance de Z, ont dû être écrits séparément. En effet, aelb devant être constants, ne peuvent être exprimés en fonction des variables P et q. Les conditions d’identification avec le type général seront donc ici

rt=i, 6=1, rt’-t-6’-i-2 — 2« — 26 = 0.

Ces trois conditions concordant, l’équation proposée représente une surface cylindrique dont la trace sur le plan des xf est le cercle

ou ■

et dont la génératrice est parallèle à la droite

Des surfaces coniques.

333. Toute surface conique est engendrée par une droite qui passe constamment par un point fixe, en s’appuyant sur une certaine courbe directrice.

Désignons par x', y', z', les coordonnées du point fixe ou du sommet du cône; par

les équations de la courbe directrice.

On exprimera que la génératrice de la surface passe constamment par le sommet, en écrivant ses équations sous la forme

GÉOMKTI'.IË ANAl-YTIQUE. 3i5

Les seuls paramètres variables sont ici les coerticieiils a et b dont les valeurs déterminent à chaque instant la position de la généi-atrice. Quelle que soit la nature de la courbe directrice, on pourra éliminer les variables x, y, z, entre les groupes d’équations (i) et (?.). On trouvera ainsi entre les paramètres arbitraires a et h la relation

Cette relation exprime la condition qui lie a et b lorsque leurs valeurs simultanées correspondent à une génératrice de la surface conique. En éliminant a et b entre les équations (2) et (3), on aura donc l'équation des surfaces coniques, dont le type général est dès lors

car les caractéristiques / cl 9 variant, il en sera de même de la caractéristi(iue E.

Si l’on lire de l’équation (3}

on peut encore mettre l’équation (4) sous la forme

Si le sommet du cône est placé à l’origine, on doit faire x' = y — z' = O.

L’équation (4) devient alors