est facile de vérifier si une équation donnée

représenti^ une surface conique.

Supposons qu’il en soit ainsi, et que le sommet du cône soit à l’origine. Les équations de la génératrice seront de la forme

I x = az, y = l)z.

3a6 OÉOMÉIIUK AflALYTKJl'E.

L’équaiion (A) deviendra donc

Si l’on opère la même subslilution dans l’équalion

qui représenie louies les surfaces coniques dont le sommcl est à l’origine, on oblienl l’équalion (3)

Si l’équaliou (A) représenie réellemeni une surface conique, on doit pouvoir identifier l’cqualion (A') avec l’équalion (3) indépendamment de toutes valeurs attribuées à a et à Z». 11 faut par suite que, dans l’équation (A'), z disparaisse de lur-même, ce qui exige que tous les termes de l’équation (A') contiennent Z à la môme puissance, ou que les termes de l’équation (A) soient du même degré en comptant les trois variables a:, j, z. On arrive ainsi à ce beau théorème dû à Monge, qu’on peut regarder comme le créateur de la géométrie des surl^aces : Toute équation homogène à trois variables représente une surfaee conique dont le sommet est à l'origine des coordonnées.

Uéciprof|ueinenl, toute équation représentant une surface conique devient homogène par rapport aux variables x, y, z, considérées simultanément, lorsqu'on transporte l’origine des cordonnées au sommet du cône.

En résumé, pour vérifier si l’équation non homogène

représente une surface conique, on transportera les axes parallèlement à eux-mêmes en un point [x', y', z'). Si l’on peut trouver alors pour x', y', z', des valeurs réelles qui rendent l’équation homogène en faisant disparaître tous les termes dont le degré collectif est inférieur au sien, l’équation (A) correspondra à une surface conique ayant pour sommet le point {x\ y', z').

335. Lorsque la courbe directrice est la trace de la surface sur le plan des xy, ses équations sont •'

En y joignant les équations de la génératrice .

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 3'Ay

OU ublienl, eu éliminaut z,

x = x' — az', y = x' —

Trausporlaiil les valeurs irouvées dans /(jc, y) = o, il vienl f{x' — az',y' — bz')=o

pour la relation fçénérale entre a et b. Éliminant a oA b à l’aide des équations de la génératrice, l’équation générale des surfaces coniques devient dans ce cas

ou

„ izx' — xz' zr' — \

On pourra donc écrire inunédiaternenl l'équation de la surface conique, en remplaçant, dans l'équation de sa trace sur

le plan des xy, x et y par les rapports

■xz' zy' — yz’ -r- et H-

336. Exemples. — i“ Supposons que la trace de la surface sur le plan des xy soit le cercle

• ’ - ■ \ et qu elle ait pour génératrice la droite

' D’après la remarque du n” 335, ou u’aura qu’à remplacer x cl Kj dans l’équation (i), par les rapports

zx

■ xz

et

zy' yz

On aura ainsi, pour l’équation de la surface du cône circulaire oblique considéré.

{zx' — xz'Y -4- {zy' — = r'{z — 3')’.

Si le cône est droit, son sommet se trouve, d’après l’équation (i), sur l’axe des z. On a donc

Par suite, l’équation du cône circulaire droit dont l’axe se con-

l'iuS GÉOMÉTIIIE AWALYTIQUE.

fond avec l'axe des z, est

Les équations des cônes circulaires étant du second degré, en coupant ces cônes par des plans, on obtiendra comme sections des courbes du second degré (221, 224, 327). a" Cherchons si l’équation