c’ — * -h 2XZ — yz -h ^ X -{- 5 Z — 3 ,4 = o

représente une surface conique.

Comme cette équation n’est pas homogène, il faut y remplacer (334) X, y, Z, par x-\~x', y y', z-y z'.

Les termes du second degré ne changeront pas, les termes du premier degré auront pour coefficients les dérivées partielles du premier membre de l’équation, x, y, z étant remplacées dans ces dérivées par jr', j ', z'. Enfin, le terme indépendant sera le premier membre de l’équation proposée sauf la même substitution.

On doit donc poser

^x' -yi.z' -y = O, — G k' — z' — O, ix' — j-' -1-5 = 0, 2a?'' — 3^'" -1- ix' z' — y'' z' -y l^x' -y ^z' — 3,4 = o.

On lire des trois premières relations

et comme ces valeurs vérifient la quatrième relation, l’équation proposée représente une surface conique dont le sommet a pour coordonnées les résultats qu’on vient d’obtenir, et dont la trace sur le plan des xy est l’hyperbole

Des surfaces conoïdes.

.337. Toute surface conoïde est engendrée par une droite qui glisse parallèlement à un certain plan directeur, en s’appuyant à la fois sur une droite fixe et sur une certaine courbe directrice.

Nous considérerons seulement le cas le plus simple, celui où l’axe fixe se confond avec l’axe des z et le plan directeur avec le plan dcsa?j>\ On doit alors prendre pour ciiualions de la génératrice

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Soient

GÉOMÉTRIE ANALYTIQEE.

celles de la seconde directrice.

Les coefficients a ei p varient lorsque la génératrice passe d’une position à une autre. Quelle que soit la nature de- la seconde directrice, on pourra éliminer les variables x, y, z, entre les groupes d’équations ( 1 ) et (2). On trouvera ainsi, entre les paramètres arbitraires a et p, la relation

Celte relation exprime la condition qui lie a et p lorsque leurs valeurs simultanées correspondent à une génératrice de la surface conoïde. En éliminant a elp entre les équations (i) et (3), on aura l’équation des surfaces conoïdes dans l’bypotbèse choisie. Il viendra donc immédiatement pour cette équation

Si r on tire de l’équation (3) (a), on peut encore mettre

l'équation (4) sous la forme

On voit, toujours dans l’hypothèse spéciale où l’on s’est placé, que l’équation de la surface est homogène par rapport aux seules variables J et x, en laissant z de côté ou en considérant celle variable comme une constante. C’est là un théorème analogue à celui démontré au n® 334.

En résumé, toute équation à trois variables, homogène par rapport à deux des variables qui y entrent, représente un cono'ide ayant pour plan directeur celui de ces deux variables et pour directrice rectiligne l’axe qui correspond à la troisième variable.

338. La recherche de l’équation (4) devient très-facile lorsqu’on prend pour seconde courbe directrice la trace de la surface conoïde sur un plan parallèle au plan des xz par exemple.

Les équations de celle seconde directrice sont alors

Les équations de la génératrice étant toujours

33o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

l’équalion (3) devient ici

et l’on a par suite, à la place de l’équation (4),

On obtient donc alors inimédiateinent l’équatiàn de ta surface conoïde, en remplaçant dans l'équation de sa seconde

directrice, x par