X- = ai -t- p, r liz -h

les équations de l’axe de la suface. Il s’agit de représenter la circonférence génératrice. On peut évidemment la regarder comme provenant de l’intersection d’un plan perpendiculaire à l'axe et d’une sphère de ra^on variable ayant pour centre fixe un point de l’axe (celui où il perce le plan des xy par exemple), c’est-à-dire, qué les équations de la génératrice seront (301, 312)

, J I ax-ht>X-i-i~ d, ' , .

, . I (æt — />)’-+-(/— 9)’4- 5’= K*.

Soient enfin

• l Cj>(x,p,z) = 0, ,

les équations de la courbe directrice.

Les seuls paramètres variables sont ici d et R’, dont les valeurs déterminent à chaque instant la position de la génératrice. Quelle que soit la nature de la courbe directrice, on pourra éliminer les variables 2, entre les groupes d’équations (i) et(a). On trouvera ainsi, entre les paramètres arbitraires d et R’, la relation

Cette relation’ exprime la condition qui lie d et R’ lorsque leurs valeurs simultanées correspondent à une génératrice de la surface proposée. En éliminant d et R’ entre les équations (i) et (3), on aura l’équation des surfaces de révolution •dont le type général est dès lors,

Si l’on tire de l’équation (3) R’=$(r/), on peut encore mettre l’équation (4) sous la forme

(x — py-hip — qy-hz^=^(ax-i-djr-i-2).

S'a!. L’équation des surfaces de révolution prend une forme beaucoup plus simple, lorsque l’axe de la surface se confond avec l’axe des 2. On peut alors regarder le cercle générateur comme provenant de riutersection du cylindre variable

et du plan

GÉOMÉTRl-E ANALYTIQUE.

L’équalion (3)

uu .

iJoime alors pour équation de la surface

(4) F(2, = o ou x’ + y' (z).

On voit par là que tante équation qui donne pour In somme des carrés des deux variables x et y une fonction de z, représente une surface de révolution autour de l’axe des z.

342. Considérons le cas où, l’axe de la surface étant toujours l’axe des z, la courbe directrice est la trace de la surface sur le plan des xz.

Les équations de cette courbe directrice ou de ce méridien sont alors

Comme les équations de la génératrice sont

en éliminant x,y,z, entre les quatre équations posées, on obtient comme équation de condition entre et R,

Par suite l’équation de la surface est

On l'obtient immédiatement en remplaçant, dans l'équation du méridien de la surface dans le plan def xz, x pai' >jx'‘-yf.

On opérera d’une manière analogue, si l’on donne la trace île la surface sur le plan des yz.

343. Exemples. — i" Cherchons l’équalion de la surface enprcndrée par une droite tournant autour d’un axe fixe avec lequel elle n’est pas dans un même plan.

Prenons pour axe des z l’axe de la surface, et supposons que la plus courte distance entre l’axe et la génératrice dans une position déterminée se confonde avec l’axe des x. Celte génératrice, qu’on pourra regarder d’après ce qui précède comme la directrice de la surface (340), aura donc pour équations (puisqu’elle sera alors parallèle au plan des yz)

I y— bz.

GKOMÉTIUE ANALYTIQUE, 333

Les équations d’un parallèle de la surface seront

En éliminant x,y, z, entre ces quatre cqualions, il vient

Par suite, l’équation de la surface sera (en éliminant d cl R’ entre les équations (2) et (3)

Si l’on fait dans cette équation r = o, on obtient la trace de la surface sur le plan des xz. La courbe méridienne de la surface est donc l’hyperbole

■ x'‘ — fl’ z' — /)’.

Si l’on avait donné d’abord cette courbe méridienne comme directrice de la surface, un aurait trouvé immédiatement son équation (342) en remplaçant dans l’équation de la directrice X par On doit encore remarquer que, si l’on avait

pris pour directrice la droite

ix^p,

■ ■ ( y = — bz,

on aurait obtenu la même surface , puisque b n’entre qu’au carré dans l’équation trouvée. La surface peut donc, être engendrée par le mouvement d’une seconde droite, ayant sur le plan des une projection symétrique de celle de la première directrice par rapport à l’axe Oz.

'2“ Considérons encore le cas du tore, c’est-à-dire la surface enç'endrée par un cercle tournant autour d’un axe situé dans son plan et qui ne passe pas par son centre.

Nous prendrons l’axe de la surface pour axe des s, et pour courbe directrice du cercle générateur (340) le cercle donné que nous supposerons placé dans le plan des xz.

Le cercle directeur aura alors pour équations (en désignant par / la distancé de son centre à l’axe des z)

y=o, {x — ly- -t- s’ = c’ ;

et pour obtenir l’équation de la surface, il suffira (342) de remplacer dans l’équation du cercle directeur dans le plan des xz,

334 GÉOMÉTUIE analytique.

X par il viendra donc pour équation du tore

Cette équation est du quatrième degré. ! '

34i. Nota. — Nous ne pourrions, sans sortir du cadre que nous nous sommes imposé, parler ici des surfaces réglées, développables ou gauches. Nous renverrons le lecteur sur ce sujet, soit au grand ouvrage de Monge, soit à Y Analyse appliquée de Leroy.