DF — E(B — UE — F(A

Lorsque la surface considérée a un centre, M est différent de zéro; et l’équation (7), (|tii est du troisième degré, admet toujours jiour .? une valeur réelle différente de zéro, qui conduit à des valeurs aussi réelles pour les coefficients ni et n.

On voit par là qu’une surface du second ordre à centre admet au moins un plan principal, dont l’é(|uation (5 ter) peut s’écrire [puisqu’on a égalé à s les rapports (c)]

{9) 5(/»7r -h «r-f- z) -t- (îm -I- Hh -I- K = O.

;îGo. Dans les surfaces dénuées de centre ou qui en ont une infinité, le dénominateur commun M (360) est égal à zéro. 11 en résulte que l’équation (7) admet dans ce cas une racine nulle. Pour cette racine nulle, le plan principal représenté par l’é(|uation {9) n’existe plus, à moins que la condition ,

(10) Gm -H If n -t- K = O ^

ne soit satisfaite.

Si cette condition n’est pas satisfaite, Je plan principal correspondant à la racine s=o se transporte l’Infini. Si cette condition est satisfaite, le plan principal considéré est indéterminé, c’est-à-dire qu’à la racine «;=o correspondent une infinité de plans principaux.

Pour s’assurer que la condition (10) revient à N" = o (360), on n’a qu’à faire «=o dans les équations (8), et à remplacer m et « dans l’équation (10) par les valeurs ainsi obtenues.

En supprimant la racine 5 = 0, l’équation (7) devient (dans l’hypothèse de M = o) ,

(7 bis) s’— (A-t-B-l-C)i-f-(AB-)-AC-+-BC— D'— E^— F>) = o;

et il est facile de voir que les deux autres racines ne peuvent être milles à la fois, car on aurait alors les deux équations de condition

A-f-B-pC = o, AB + AC-I-BC — D’ — E» — f^ = o.

Or, si du carré de la première équation on retranche le, double de la seconde, il vient

348 (lÉOMÉTIUE AMALYTUjUE.

ce qui enlraîueraii. la disparition de tous les termes du second degré dans l’équation (i), qui ne représenterait plus une surface du second ordre.

Mais pour pouvoir affirmer que toute surface du second degré admet au moins un plan principal non situé à l’infini, il liuit encore démontrer que l’équation (7 bis) ne peut avoir de racines imaginaires ou, ce qui revient au même, que l’équation (7) a toujours ses trois racines réelles.

366. Pour y arriver, on peut suivre la marche directe et extrêmement ingénieuse due à M. Cauchy [Exerciees de Mathématiques, 3* année) et simplifiée par M. Gerono [Nouvelles jdnnales de Mathématiques, t. XV). 1

N^s remarquerons d’abord ([ue si l’équation (7) admet une racine double ou une racine triple, ses trois racines seront réelles et même commensurables (Compl. d’yilg., 214). II suffit donc d’examiner le cas où les trois racines sont inégales.

Plaçons-nous d’abord dans le cas particulier où l’on suppose (|ue les coefficients D et E sont nuis; l’équation (7) ou l’équation [d) (364) devient alors - V

(\ — i)(B — A)(C — 4) — E^(A — a) = o. ■ >:.r Elle se sépare en deux autres [e) A — s — O,

if) (B-4)(C-4)-P = o. V.

c’est-à-dire qu’elle a pour racines réelles les trois quantités

s — A, lî + C

Heprenons maintenant l’équation ((/) et cherchons quelles valeurs prend son premier membre lorsqu’on y remplace la variable s par les quatre valeurs — ao , s,, s», -i- x .

La première et la dernière substitution donnent pour résultats -H 00 et — so [Compl. d’Alg., 172); car il ne faut pas perdre de vue que dans l’équation [d) le premier terme est

En vertu de la relation (/), la seconde et la troisième sul»-.

GÉOMÉTRIE A^ALYTIQ^JF,.

stilution donnent