E»(B — — D’ DEF
— E’(B — s,) — D’(C — 5:) + osI)EF. '
En tenant toujours compte de la relation (/), on peut mettre le premier de ces résultats sous la forme
— — [EMB — S,)’ + D=(B — s.) (C — s,)— 2DEF(B — A,)]
J5 Si
= — — [E’(B — s,)’4-D’F’ — 2DEF(B — s,)]
JJ ““ <Jj
= -B^[E(B-a.)-DF]'. .
On opérera de fnême pour le second, de sorte que les résultats des deux substitutions opérées seront (inalement
ig) ■ -g^[E(B-A,)-DF]’.
(h) '-^^^[E(B-^,)-DF]’.
11 n’y a donc, pour connaître les signes de ces résultats, qu’à chercher ceux des différences B — si , B — i, . On a
La première différence est essentiellement positive, la seconde essentiellement négative. Par suite, le résultat (g-) est négatif, le résultat (h) est positif.
Ainsi les signes du premier membre de l’équation {d) sont (pour les substitutions — eo , s,, Sj> -i-oo )
L’équation [d] ou l’équation {')) admet donc nécessairement trois racines réelles; ce qui nous permet d’affirmer sans aucune restriction que toute surface du second degré, à centre ou dénuée de centre, admet au moins un plan principal.
Remarques. — Nous avons suppose implicitement que chacune des différences B — , B — s,, était différente de zéro.
35o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
Ür, si l’on a F = o, il vienl a, = C, s, ==B. Mais dans ce cas l’équation (</) devient
(A — i)(B — «)(C — i) — K’(n — s) — IF(C — 5) = o;
et les résultats des susbtitutions s, et s, sont
— E’ (B — 4,) et — D=(E — Si).
Si l’on suppose ou B>C, le premier résultat reste
négatif, le second demeure positif.
Si l’on a à la fois, - v' !
l’équation [d) se réduit à • . ' .
On a toujours /
Les résultats des substitutions 4, et 4, sont alors
' O et -^1)^(G — 4j). ■ -
En supposant 4j>4, , le second est positif. L’équation admet donc dans ce cas une racine nulle et une racine positive; elle a donc nécessairement ses trois racines réelles.
Enfin, si l’on a
l’équation (rf) devient
et ses trois, racines réelles sont A, B, G.
3fi7. Soient 4 et s' deux racines inégales de l’éc^uation (7) (364). A la valeur 4, Correspondront les deux coefficients angulaires m et n [364 (8)]; à la valeur s', les deux coefficients rn' et n'.
Nous savons que si x, (3, 7, a', J3', y', sont les angles formas par chacune des directions principales obtenues avec les trois axes, on a (307, I) ' .
cos a , cosa'
III = î ni = ; c
cos 7 cos 7
cos 3 , cos S'
cos 7 cos 7
OÉOMÉTIUE AKALYTIQUE. ST)!
Par suilp, pii subslituaiu dans les équations (<• bis) (364), on anra
(A — s)cos« -t- 1) cos|3 -t-E rosy = o,
(A — s') cosa'-l- D cosp' + E cos y' = o,
Dcosa-t-(B — 5) cosj3 4- F cosy = o, .
1)coss('4-(B — i') cos -I- F cosy' = I).
ïlcosa-l-F cos;3-|-(C — Ajcosy = o,
Ecosa' + Fcos^'-I- (C — A')cosy' = o.
Multiplions respectivement les premières équations de chaque . . groupe par cos*', cos|3', cosy', et les secondes par cos*, cos[3, cosy; puis de la somme des premières, retranchons la somme des secondes. 11 viendra évidemment
(< ) (5 — s')(cos* cos*' -f- cos |3 cos |3' 4- cosy cosy') = o,
d’où
cüs* cüs*' 4- cos^ coS|3' 4- cosy cosy' = o ;
ce qui montre que las directions principales qui correspondent à deux racines inégales sont perpendiculaires entre elles.
