Reprenons l’équation
{ A*^ 4- Bt-^4- C2’4- aD*)’4- aFI.rs 4- aF^'2
^ ^ • \ 4-2G*^4-2lI y4-aR24-L = o.
Si l’on suppose les axes coordonnés rectangulaires et si l’on prend pour plan des *■/ le plan principal de la surface (306), chaque couple de valeurs données à a; et à r devra conduire pour z à deux valeurs égaies et de signes contraires.' Par suite, l’équation ne pourra renfermer de termes contenant Z au premier degré. De plus, on pourra faire tourner les axes des x et des ju dans leur plan, en les laissant perpendiculairès- entre eux, de manière à faire disparaître aussi formules à employer étant
.u'sin* -Hr'cos *,
352 GÉOMliTRIE A> AfVTIOt'E.
le nouveau coefficient du produit xy sera
2Dcos2a 4- (lî — A)sin2a:; ce qui conduira à la relation
l:ing2 5t:
Celte relation donnant toujours pour l’angle « une valeur admissible, on voit qu’on pourra dans tous les cas ramener l’équation (i) à la forme
Pæ’4- I’'j’+P"s’+ 2Q^4- sQ'r+ L, = o,
en désignant par P, P', P", 2Q, 2Q', L, , les valeurs des coefficients modifiés par la transformation cffccluce.
369. Il est utile de montrer que les valeurs des coefficients P, P', P", sont précisément les racines de l’équation (7) (36^). En effet, si l’on passe des coordonnées rectangulaires auxquelles la surface représentée par l’équation (i) est rapportée, aux coordonnées rectangulaires pour lesquelles disparaissent les trois produits des variables, les formules à employer seront (296)
X = x' CO^cr. 4- cos «'4- s' cos a", j = a:'cosp 4-y'cos^' 4-2'cos[3",
2 =..r'cüsy 4- j'cosy' 4- s'eosy".
On devra y joindre, en particulier, les équations de condition
cos’a 4-cos’(3 4- cos’ y =1, cos’ «' 4- cos’,^' 4- cos’y' = i, cos’«"4- cos’(3"4- cos’y"= I.
cos«, cosp, cosy, . . représenteront précisément les valeurs qui doivent satisfaire aux équations (c bis) (364) mises sous la forme (c' bis) (367).
Or si l’on multiplie respectivement ces équations par cos«, cos(3, cosy, et qu’on les ajoute, on obtient la relation
A CüS’«4- Bcos’(34- Ccos’y 4- 2 D cos « cos (3 4- 2 E cos a cos y
dont le premier membre est le coefficient qu’ori obtient potir a/’, lorsqu’on substitue dans l’équation (i) le^yaleurs données par les formules de Iransformuiion. Il en^sulte immédiatement que P =i, c’est-à-dire que P est l’une des radne.s
ÜÉOMÉTl’.lE AMAI.YTIQtE. 333
de l’équalion (7); de même, P' ei P" seront les deux autres racines de cette équation.
On a d’ailleurs
Q=Gcosa +Hcos(3m-Kcos)',
Q'= Gcosst'+Hcosjâ'+Kcosy'.
370. L’équation (I) représente encore toutes les surfaces du second ordre. Il faut maintenant distinguer entre les sur- '■ faces qui ont un centre et celles qui n’en ont pas.
Si la surface a un centre (ce qui comprend le cas où elle en a une infinité), on peut y transporter l’origine et faire disparaître ainsi tous les termes du premier degré (359, 3ü0). L’équation (I) prendra alors définitivement la forme
(II) PÆ»-)- P'> =-t- P"z’=R.
On a
Il = - L, (359, «cm.),
R = — (Gar -H Ily -t- K 3 4- L) ,
X, y, Z représentant les coordonnées du centre considéré par rapport aux axes primitifs.
P2n effet, le changement de direction des axes ne pouvant influer sur le terme indépendant, il restera le même qu’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes après ou . avant leur changement de direction.
Si la surface proposée n’a pas de centre, les équations obtenues en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l’équation (I), savoir :
devront donner pour l’une au moins des coordonnées du centre (x, y, z) une valeur infinie; cette condition ne peut être remplie que si le coefficient de l’un des carrés des variables a été rendu nul de lui-même par les tranformations du n" 368. Nous aurons donc, par exemple,
De plus, on pourra par le transport parallèle des axes, non pas flaire évanouir tous les termes du premier degré de l’équation (I), puisque la surface n’a pas de centre (359), mais éliminer un terme du premier degré et le terme indépendant
