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354 (iéOMltTlilE ANALYTIQUE.

des variables. Si l’on chasse ainsi le terme en y', l' équation (I), dans le cas des surfaces dénuées de centre, prendra définitivement la forme

(111) P"z’-4- aQj: = o.

En résumé, à l’aide de transformations convenablement dirigées, on peut toujours ramener l’équation générale des surfaces à centre à la forme (II), et l’équation générale des surfaces dénuées de centre à la forme (III). Il nous reste à séparer les différentes espèces de surfaces comprises sous ces deux formes. s -

371. Avant de commencer cette discussion, il est utile de remarquer que l'équation des surfaces à centre conserve la forme (II) pour une infinité de systèmes d’axes obliques.

En effet, si l'on place l’origine au centre, les termes du premier degré n’existeront pas, et les plans coordonnés seront des plans diamétraux de la surface (362). Si l’on dirige l’axe des Z parallèlement à la direction conjuguée au plan des xy, les termes en xz et enyz disparaîtront. Enfin, en faisant tourner l’axe des x et l’axe des / d’un angle convenable dans leur plan, on pourra aussi se débarrasser du terme en xy. Les plans coordonnés forment alors un système de plans diamétraux conjugués, parce qu’à chaque groupe de valeurs de deux des variables correspondent deux valeurs de la troisième variable égales et de signes contraires; c’est-à-dire que chaque plan coordonné divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’axe situé hors du plan considéré.

De même, l’équation des surfaces dénuées de centre conserve la forme (III) pour une infinité de systèmes d’axes obliques.

En effet, on peut, cotnme dans le cas précédent, faire disjiaraître les produits des variables. Le terme en z, par exemple, disparaîtra aussi en même temps que l’un des carrés x’ des variables (370). ün peut ensuite transporter les axes parallèlement à eux-mêmes, l’origine restant dans le plan des xy, de manière à éliminer à la fois le terme en y et le terme indépendant. Les plans des xy et des xz sont alors des plans diamétraux; mais (d’après la forme de l’équation) les cordes parallèles à l’axe des x ne perçant la surface qu’en un seul point, leur milieu est à l’infini ainsi que le plan diamétral qui leur est conjugué. On voit que les surfaces' dénuées de centre n’admettent pas de plans diamétraux conjugués.

GÉOMÉTBIE ANALYTIQUE.

Surfaces à centre.